Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 20 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 19 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 20 mv_0B = 19 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 40 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 25° над горизонталлю із силою 130 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 40 kgF = 130 Nθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 40 N тягне передній брусок масою 5 kg; брусок масою 9 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgF = 40 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 38 m/s, і він має впасти на відстані 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 38 m/sR = 60 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 17 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,1 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 40° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,1 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 800 N/m. На неї кладуть кульку 0,1 kg, стискають пружину на 3 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,1 kgk = 800 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 4,8 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 1,5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 1 kgh = 4,8 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 9 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 5 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 39 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 4 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 9 kgu = 5 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 39 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 3,5 kgL = 1 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,6 kg на пружині з k = 480 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,6 kgk = 480 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 12 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 20 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 12 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 15 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 50 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 15 cmR = 50 cm

m =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 36,36 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5,5) = 36,36 m

Відповідь

s = 36,36 m

2.Кінематика

Відповідь: y = 14,57 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 20/19 = 1,053 s

Висота зустрічі

y = 19·1,053 − ½·9,81·1,053² = 14,57 m

Відповідь

y = 14,57 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,258 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 130·sin 25° = 337,5 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 117,8 − 67,49

a = 50,33/40 = 1,258 m/s²

Відповідь

a = 1,258 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,876 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 13,73)/14 = 1,876 m/s²

Відповідь

a = 1,876 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 12,03 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·60/38² = 0,4076

Кут

2θ = 24,06° → θ = 12,03°

Відповідь

θ = 12,03°

Інший розв’язок 90° − θ = 77,97°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,285 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 30° = 14,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 30° = 8,5 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 8,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,5 + √(72,25 + 490,5))/9,81 = 3,285 s

Відповідь

t = 3,285 s

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,841 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,1·sin 40° = 0,7071 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,7071·9,81·tan 40°) = 2,413 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,7071/2,413 = 1,841 s

Відповідь

T = 1,841 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,836 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Відповідь

v_min = 3,836 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,367 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·800·0,03² = 0,36 J

Висота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,36/0,981 = 0,367 m

Відповідь

h = 0,367 m

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 13,73 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,8 − 3) = 35,32 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·35,32/1,5 − 9,81 = 13,73 N

Відповідь

N = 13,73 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −37,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 9·5 = 45 kg·m/s

Імпульс після удару

45 = 5·39 + 4·v′₂

v′₂ = (45 − 195)/4 = −37,5 m/s

Відповідь

v′₂ = −37,5 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 594,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 25°) = 0,09369 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,09369) = 1,356 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,508·1,356/0,008 = 594,5 m/s

Відповідь

v = 594,5 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,374 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,4/9,81) = 2,374 s

Відповідь

T = 2,374 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 27,69 m/s²

Кутова частота

ω = √(480/2,6) = 13,59 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,15·13,59² = 27,69 m/s²

Відповідь

a_max = 27,69 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −30 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/12

d_i = −30 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −30 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 2,5

Фокусна відстань

f = R/2 = 25 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/15

d_i = −37,5 cm

Збільшення

m = −(−37,5)/15 = 2,5

Відповідь

m = 2,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics