Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,5 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1600 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1600 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 19 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 11 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 11 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 8 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 8 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 26 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 19 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 90 m має нахил полотна 20°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 90 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 1 kg висить на легкій нитці завдовжки 0,8 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 40° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 1 kgL = 0,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 4 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1700 kg, що рухається зі швидкістю 16 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 900 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1700 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1800 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 23,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1800 kgd = 23,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,6 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 6 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2,5 kgk = 80 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,65 м, хвилі поширюються зі швидкістю 300 м/с. Знайдіть частоту f₂ для моди «гармоніка номер 2».

v = 300 m/sn = 2L = 0,65 m

f₂ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 400 лініями на міліметр показує максимум порядку 2 спектральної лінії під кутом 28,7° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 400 mm⁻¹θ₂ = 28,7°m = 2

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 105,8 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1600) = 105,8 m/s

Відповідь

v = 105,8 m/s

(381 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 48,4 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Висота над землею

h_max = 30 + 18,4 = 48,4 m

Відповідь

h_max = 48,4 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,512 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Відповідь

a = 1,512 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 5,025 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6,369) = 5,025 m

Відповідь

d = 5,025 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,65 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 30° = 22,52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 30° = 13 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·13/9,81 = 2,65 s

Відповідь

t = 2,65 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 67,18 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 20° = 17,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 20° = 6,498 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 6,498·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,498 + √(42,23 + 882,9))/9,81 = 3,763 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 17,85·3,763 = 67,18 m

Відповідь

x = 67,18 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 17,93 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(90·9,81·tan 20°) = 17,93 m/s

Відповідь

v = 17,93 m/s

(64,53 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,801 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

Відповідь

v_min = 2,801 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 14,4 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 40°) = 3,672 m²/s²

Сили внизу

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·3,672/0,8 = 14,4 N

Відповідь

T = 14,4 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 14,4 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,425 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,25·4) = 36,79 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Відповідь

v = 5,425 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 75323 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·16/2600 = 10,46 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1700·16² = 217600 J

K_after = ½·2600·10,46² = 142277 J

Втрачена енергія

ΔK = 217600 − 142277 = 75323 J

Відповідь

ΔK = 75323 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 37,19 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·23,5) = 18,6 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·18,6/1800 = 37,19 m/s

Відповідь

v₁ = 37,19 m/s

(133,9 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,68 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,6/2π)² = 1,68 m

Відповідь

L = 1,68 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,3394 m/s

Кутова частота

ω = √(80/2,5) = 5,657 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,06·5,657 = 0,3394 m/s

Відповідь

v_max = 0,3394 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₂ = 461,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,65/2 = 0,65 m

Частота

f = v/λ = 300/0,65 = 461,5 Hz

Відповідь

f₂ = 461,5 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 600,3 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 28,7°/2 = 600,3 nm

Відповідь

λ = 600,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics