Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 15 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 10 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 15 mv_0B = 10 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 12 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 12 m/sθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 36 m/s, і він має впасти на відстані 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 36 m/sR = 50 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 34 m/s під кутом 25° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 34 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 60 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 60 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 3 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 6,75 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 1,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 3 kgh = 6,75 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 5 kg висить на легкій нитці завдовжки 1 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 20° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 5 kgL = 1 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 17 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 10 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 15 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 60 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 2 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 17 kgu = 10 m/sm₁ = 15 kgv′₁ = 60 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1000 kg, що їде на схід зі швидкістю 25 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1000 kg, що їде на північ зі швидкістю 25 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 1000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 25 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,8 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2,8 kgk = 80 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,6 м, хвилі поширюються зі швидкістю 150 м/с. Знайдіть частоту f₂ для моди «гармоніка номер 2».

v = 150 m/sn = 2L = 0,6 m

f₂ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 300 лініями на міліметр показує максимум порядку 1 спектральної лінії під кутом 10,2° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 300 mm⁻¹θ₁ = 10,2°m = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 12,5 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12,5 m

Відповідь

s = 12,5 m

2.Кінематика

Відповідь: y = 3,964 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 10·t − ½g·t² → t = 15/10 = 1,5 s

Висота зустрічі

y = 10·1,5 − ½·9,81·1,5² = 3,964 m

Відповідь

y = 3,964 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,937 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

Відповідь

a = 6,937 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 9,953 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 35° + 0,2·cos 35°) = 7,234 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·7,234) = 9,953 m

Відповідь

d = 9,953 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 11,12 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·50/36² = 0,3785

Кут

2θ = 22,24° → θ = 11,12°

Відповідь

θ = 11,12°

Інший розв’язок 90° − θ = 78,88°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 45,15 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 34·cos 25° = 30,81 m/s

v_y0 = 34·sin 25° = 14,37 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(14,37² + 2·9,81·45) = 33,01 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(30,81² + 33,01²) = 45,15 m/s

Відповідь

v = 45,15 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 13,29 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·60) = 13,29 m/s

Відповідь

v_max = 13,29 m/s (47,84 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 117,7 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(6,75 − 2·1,5) = 73,58 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 3·73,58/1,5 − 29,43 = 117,7 N

Відповідь

N_top = 117,7 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 54,97 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 20°) = 1,183 m²/s²

Сили внизу

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·1,183/1 = 54,97 N

Відповідь

T = 54,97 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 54,97 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 26,58 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(1 − 0,1·1) = 35,32 J

Найбільше стиснення

½kx² = 35,32 → x = √(2·35,32/1000) = 0,2658 m = 26,58 cm

Відповідь

x = 26,58 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −365 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 17·10 = 170 kg·m/s

Імпульс після удару

170 = 15·60 + 2·v′₂

v′₂ = (170 − 900)/2 = −365 m/s

Відповідь

v′₂ = −365 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 45 °

Складові імпульсу

p_x = 1000·25 = 25000 kg·m/s

p_y = 1000·25 = 25000 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 1 → θ = 45°

Відповідь

θ = 45°

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,948 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,8/2π)² = 1,948 m

Відповідь

L = 1,948 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,8018 m/s

Кутова частота

ω = √(80/2,8) = 5,345 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,15·5,345 = 0,8018 m/s

Відповідь

v_max = 0,8018 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₂ = 250 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,6/2 = 0,6 m

Частота

f = v/λ = 150/0,6 = 250 Hz

Відповідь

f₂ = 250 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 590,3 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 3,333 × 10⁻⁶·sin 10,2°/1 = 590,3 nm

Відповідь

λ = 590,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics