Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 23 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 2,5 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.

v_car = 23 m/sa_police = 2,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 50 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 18 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 50 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 7,5 m/s і зупиняється, пройшовши 29 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 7,5 m/sd = 29 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 32 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 30 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 13 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 380 m має нахил полотна 5°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 380 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 1,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 8 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 2 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 1,5 kgh = 8 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 1000 N/m. На неї кладуть кульку 0,25 kg, стискають пружину на 5 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,25 kgk = 1000 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 3 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 1 kgL = 0,6 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,9 kg на пружині з k = 340 N/m відтягують на 9 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,45 s (зі знаком).

m = 2,9 kgk = 340 N/mA = 9 cmt = 0,45 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,5 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 340 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 1,5 kgk = 340 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 70 дБ на відстані 10 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 100 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 70 dBr₁ = 10 mr₂ = 100 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає під прямим кутом на ґратку з 100 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₂ максимуму порядку 2.

N = 100 mm⁻¹λ = 550 nmm = 2

θ₂ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 18,4 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/2,5 = 18,4 s

Відповідь

t = 18,4 s

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 46 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,778 s

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

50 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 50/18 = 2,778 s

Відповідь

t = 2,778 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,09886

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 7,5²/(2·29) = 0,9698 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9698/9,81 = 0,09886

Відповідь

μ = 0,09886

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 8,409 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 0)/3,5 = 5,606 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·5,606 + 0 = 8,409 N

Відповідь

T = 8,409 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,194 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·20,57/9,81 = 4,194 s

Відповідь

t = 4,194 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,347 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 35° = 10,65 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 35° = 7,456 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 30 + 7,456·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,456 + √(55,6 + 588,6))/9,81 = 3,347 s

Відповідь

t = 3,347 s

7.Рух по колу

Відповідь: v = 18,06 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(380·9,81·tan 5°) = 18,06 m/s

Відповідь

v = 18,06 m/s

(65,01 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 44,14 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(8 − 2·2) = 78,48 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 1,5·78,48/2 − 14,71 = 44,14 N

Відповідь

N_top = 44,14 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,5097 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·1000·0,05² = 1,25 J

Висота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 1,25/2,453 = 0,5097 m

Відповідь

h = 0,5097 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 32,25 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(3 − 0,1·3,5) = 104 J

Найбільше стиснення

½kx² = 104 → x = √(2·104/2000) = 0,3225 m = 32,25 cm

Відповідь

x = 32,25 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 15,38 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 1,5)/(5 + 1,5)·10 = 5,385 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1,5)·10 = 15,38 m/s

Відповідь

v′₂ = 15,38 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 112,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 40°) = 0,1404 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1404) = 1,66 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,015·1,66/0,015 = 112,3 m/s

Відповідь

v = 112,3 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 1,435 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(340/2,9) = 10,83 rad/s

ω·t = 10,83·0,45 = 4,873 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(4,873) = 1,435 cm

Відповідь

x = 1,435 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,6516 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1,5·9,81/340 = 0,04328 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(340/1,5) = 15,06 rad/s

v_max = A·ω = 0,04328·15,06 = 0,6516 m/s

Відповідь

v_max = 0,6516 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 50 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (10/100)² = 0,01

Новий рівень

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0,01) = 50 dB

Відповідь

β₂ = 50 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₂ = 6,315 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 2·550 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0,11

θ = 6,315°

Відповідь

θ₂ = 6,315°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics