Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
−−3 µC−−8 µCr = 50 cm

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −3 µC і −8 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 50 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −3 µCq2 = −8 µCr = 50 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
++P2 × 5 cm5 cm+3 µC+3 µC

Заряди +3 µC і +3 µC розташовані на відстані 10 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 5 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +3 µCq2 = +3 µCd = 10 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​2 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 5 VR1 = 25 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 ΩL22 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

Vs = 12 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 30 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 20 ms.

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 30 Vt = 20 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
+vBF = ?

Протон рухається ліворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: ліворучB: зі сторінки
  1. 1угору по сторінці
  2. 2праворуч
  3. 3униз по сторінці
  4. 4ліворуч
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
E = 5 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,05 T

У селекторі швидкостей схрещені поля E = 5 × 10⁴ В/м і B = 0,05 Тл пропускають прямо лише іони однієї швидкості. Знайдіть цю швидкість v.

E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0,05 T
v = m/s
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
12 V100 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
10 V50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF+−VC​

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
VC = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 1,088 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−3 + −8)/2 = −5,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 1,088 N

Відповідь

F = 1,088 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 7,628 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(5² + 5²) = 7,071 cm
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,07071² = 5,394 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E1·(h/r) = 2·5,394 × 10⁶·0,7071 = 7,628 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 7,628 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 11,73 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 2·13/(2+13) = 1,733 Ω
Req = R1 + 1,733 = 10 + 1,733 = 11,73 Ω

Відповідь

Req = 11,73 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,1809 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 25 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​2 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 8 + 2 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3,75 Ω
R3 + 3,75 = 7,75 Ω
R2 ∥ 7,75 = 2,638 Ω
Req = R1 + 2,638 = 25 + 2,638 = 27,64 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/27,64 = 0,1809 A

Відповідь

IR1 = 0,1809 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 1,076 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1,2 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1,2·(1 − e−5/2,2) = 1,076 A

Відповідь

i = 1,076 A
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 27,45 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 20 + (30 − 20)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(20) = 20 + (10)·e−20/68 = 27,45 V

Відповідь

vC = 27,45 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: угору по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: ліворуч, B: зі сторінки

Напрямок сили

угору по сторінці

Відповідь

F: угору по сторінці
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: v = 1 × 10⁶ m/s

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B1 = 5 × 10⁴/0,05 = 1 × 10⁶ m/s

Відповідь

v = 1 × 10⁶ m/s
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −86,26 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−1529)²) = 1532 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−1529/100) = −86,26°

Відповідь

φ = −86,26°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VC = 10,21 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−661,5)²) = 663,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/663,4 = 0,01507 A

Напруга на конденсаторі

VC = I·XC = 0,01507·677,3 = 10,21 V

Відповідь

VC = 10,21 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism