Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +3 µC і заряд −10 µC розташовані на відстані 60 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 15 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +3 µCq₂ = −10 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 5 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 80 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 80 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 80% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 30 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 10 ms.

V_s = 20 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 Vt = 10 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим зі сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: зі сторінкивходить у поле

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 20 витків, 8 см × 10 см, обертається зі швидкістю 900 об/хв в однорідному полі 0,5 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E₀.

N = 20A = 8 cm × 10 cmB = 0,5 Tn = 900 rpm

E₀ = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,643 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,45² = 443951 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |1,199 × 10⁶ + 443951| = 1,643 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 1,643 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 272,5 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 10° = 0,008649 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 10° = 0,2778 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2778·√(0,008649/8,99 × 10⁹) = 2,725 × 10⁻⁷ C = 272,5 nC

Відповідь

q = 272,5 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,8155 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 3·19/(3+19) = 2,591 Ω

R_eq = R₁ + 2,591 = 8 + 2,591 = 10,59 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10,59 = 0,9442 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,9442·8 = 2,446 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,446/3 = 0,8155 A

Відповідь

I_R2 = 0,8155 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 4,306 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 2 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 10,12 Ω

R₃ + 10,12 = 18,12 Ω

R₂ ∥ 18,12 = 2,574 Ω

R_eq = R₁ + 2,574 = 3 + 2,574 = 5,574 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/5,574 = 4,306 A

Відповідь

I_R1 = 4,306 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 7,534 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Виразіть час

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −4,681·ln(0,2) = 7,534 ms

Відповідь

t = 7,534 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 23,68 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(10) = 20 + (10)·e^−10/10 = 23,68 V

Відповідь

v_C = 23,68 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E₀ = 7,54 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

A = 0,008 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 20·0,5·0,008·94,25 = 7,54 V

Відповідь

E₀ = 7,54 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −23,06 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−25,55)²) = 65,21 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−25,55/60) = −23,06°

Відповідь

φ = −23,06°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 14,14 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 2/10 = 0,2 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 1414·0,05 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·70,71 = 14,14 V

Відповідь

V_L = 14,14 V

Це в Q = 7,071 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism