Закон Кулона й електричне поле
- Закон Кулона
- F = k·|q1q2|/r²
- Поле точкового заряду
- E = k·|q|/r²
- Стала
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Сила, що діє на заряд
- F = q·E
Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Послідовні й паралельні резистори
- Послідовне з’єднання резисторів
- Req = R1 + R2 + …
- Паралельне з’єднання резисторів
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Два паралельно
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Закон Ома
- V = I·R
- Потужність
- P = V·I = I²R = V²/R
Метод
- Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
- Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Перемальовуйте коло після кожного кроку.
- Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.
Перехідні процеси RC і RL
- Стала часу
- τ = RC | τ = L/R
- Відгук
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Конденсатор на постійному струмі
- розрив; vC не може змінитися стрибком
- Котушка на постійному струмі
- коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
- Усталений режим
- t ≈ 5τ
Метод
- Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
- Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
- Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
- Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Магнітні поля та індукція
- Довгий прямий провідник
- B = μ0I/(2πr)
- Центр плоскої котушки
- B = μ0NI/(2R)
- Довгий соленоїд
- B = μ0nI, n = N/L
- Стала
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Сила, що діє на провідник
- F = BIL·sin θ
- Сила, що діє на заряд
- F = |q|vB·sin θ
- Рух по колу
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Паралельні провідники
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Потік
- Φ = BA·cos θ
- Закон Фарадея
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Рухомий стрижень
- ε = BLv
- Генератор
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Індуктивність
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Взаємна індуктивність
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Селектор швидкостей і спектрометр
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Метод
- Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
- Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
- Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
- Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.
Повний опір і комплексні амплітуди
- Повні опори
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Кутова частота
- ω = 2πf
- Модуль і кут
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Закон Ома в комплексній формі
- V = I·Z
Метод
- Переведіть частоту: ω = 2πf.
- Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
- Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
- Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
2Задачі для практики
1.Закон Кулона й електричне полеСередня
Заряд +2 µC і заряд +8 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 7,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.
q1 = +2 µCq2 = +8 µCr1 = 7,5 cmr2 = 2,5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 4 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 2 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.
q1 = 2 µCq2 = 5 µCq3 = 4 µCr13 = 4 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.
V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 5 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.
Vs = 12 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 10 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 11,2 V? Знайдіть t.
Vs = 12 VR = 1 kΩC = 33 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим зі сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.
B: зі сторінкивходить у поле
- 1за годинниковою стрілкою
- 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Коротку котушку з 100 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 1000 витків, довжиною 50 см і діаметром 3 см. Струм у соленоїді змінюється зі швидкістю 100 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в короткій котушці.
N1 = 1000N2 = 100l = 50 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 20 mH
I = A
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 47 µF
VC = V
3Розчини
1.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: E = 1,119 × 10⁸ N/C
Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.
Поле кожного заряду
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,025² = 1,151 × 10⁸ N/C
Напрямки й сума
Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.
E = |3,196 × 10⁶ − 1,151 × 10⁸| = 1,119 × 10⁸ N/C
Відповідь
E = 1,119 × 10⁸ N/C
2.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: F = 204,8 N
Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.
Кожна сила, що діє на q₃
F1 = k·2·4 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N
F2 = k·5·4 × 10⁻¹²/0,03² = 199,8 N
Векторна сума
F = √(44,95² + 199,8²) = 204,8 N
Відповідь
F = 204,8 N
3.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: Req = 6,611 Ω
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3,611 Ω
Req = R1 + 3,611 = 3 + 3,611 = 6,611 Ω
Відповідь
Req = 6,611 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: Req = 15,07 Ω
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R5 + R6 = 5 + 8 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 7,879 Ω
R3 + 7,879 = 32,88 Ω
R2 ∥ 32,88 = 5,074 Ω
Req = R1 + 5,074 = 10 + 5,074 = 15,07 Ω
Відповідь
Req = 15,07 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,2938 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms
i(∞) = Vs/R = 12/33 = 0,3636 A
Струм у заданий момент
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,3636·(1 − e−5/3,03) = 0,2938 A
Відповідь
i = 0,2938 A
6.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: t = 30,24 ms
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms
vC(t) = 12 + (10 − 12)·e−t/τ
Виразіть час
11,2 = 12 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (11,2 − 12)/(10 − 12) = 0,4
t = τ·ln((10 − 12)/(11,2 − 12)) = 33·ln(2,5) = 30,24 ms
Відповідь
t = 30,24 ms
7.Магнітні поля та індукція
Відповідь: за годинниковою стрілкою
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Зміна потоку
Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.
Поле індукованого струму
Індукований струм протидіє зміні.
Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.
Напрямок струму
Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.
за годинниковою стрілкою
Відповідь
за годинниковою стрілкою
8.Магнітні поля та індукція
Відповідь: ε = 17,77 mV
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Взаємна індуктивність
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·100·0,0007069/0,5 = 177,7 µH
Індукована ЕРС
ε = M·di/dt = 0,0001777·100 = 17,77 mV
Відповідь
ε = 17,77 mV
9.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: I = 3,882 A
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивний опір
XL = ωL = 2π·200·0,02 = 25,13 Ω
Струми віток
Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.
IR = V/R = 50/15 = 3,333 A
IX = V/XL = 50/25,13 = 1,989 A
Загальний струм
Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.
I = √(IR² + IX²) = √(3,333² + 1,989²) = 3,882 A
Відповідь
I = 3,882 A
10.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: VC = 367 V
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Повний опір
Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−18,74)²) = 35,37 Ω
Струм
Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.
I = V/|Z| = 230/35,37 = 6,502 A
Напруга на конденсаторі
VC = I·XC = 6,502·56,44 = 367 V
Відповідь
VC = 367 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism