Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +1 µC і +8 µC розташовані на відстані 50 cm. На якій відстані x від заряду +1 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +1 µCq₂ = +8 µCd = 50 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 3 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 80 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 8° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 80 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 10 ms.

V_s = 24 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 15 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 12 см один від одного проводять струми 15 А і 5 А у протилежних напрямках. Знайдіть силу на метр довжини F/L між ними.

I₁ = 15 AI₂ = 5 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Дейтрон проходить без відхилення крізь селектор швидкостей зі схрещеними полями E = 1 × 10⁵ В/м і B₁ = 0,25 Тл. Потім вона влітає в другу область лише з магнітним полем B₂ = 1 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r її траєкторії там.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,25 TB₂ = 1 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 2 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 5 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 13,06 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

1/x² = 8/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(8/1) = 2,828

Положення

x = 50/(1 + 2,828) = 13,06 cm

Відповідь

x = 13,06 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 151 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 8° = 0,004136 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 8° = 0,2227 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2227·√(0,004136/8,99 × 10⁹) = 1,51 × 10⁻⁷ C = 151 nC

Відповідь

q = 151 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,8268 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 8 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 6·28/(6+28) = 4,941 Ω

R_eq = R₁ + 4,941 = 10 + 4,941 = 14,94 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/14,94 = 1,004 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,004·10 = 4,961 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,961/6 = 0,8268 A

Відповідь

I_R2 = 0,8268 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2386 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 2 + 10 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 8,108 Ω

R₃ + 8,108 = 12,11 Ω

R₂ ∥ 12,11 = 4,012 Ω

R_eq = R₁ + 4,012 = 10 + 4,012 = 14,01 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/14,01 = 0,3568 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3568·10 = 1,432 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,432/6 = 0,2386 A

Відповідь

I_R2 = 0,2386 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,565 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 24/33 = 0,7273 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,7273·(1 − e^−10/6,667) = 0,565 A

Відповідь

i = 0,565 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,5531 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 24/33 = 0,7273 A

i(∞) = 24/(33 + 15) = 0,5 A

τ = L/R = 33/48 = 0,6875 ms

i(t) = 0,5 + (0,7273 − 0,5)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,5 + (0,2273)·e^−1/0,6875 = 0,5531 A

Відповідь

i = 0,5531 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F/L = 125 µN/m

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·5/0,12 = 125 µN/m

Відповідь

F/L = 125 µN/m

Струми протилежних напрямків відштовхуються.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,835 cm

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,25 = 400000 m/s

Радіус у другому полі

r = mv/(|q|B₂) = 0,00835 m = 0,835 cm

Відповідь

r = 0,835 cm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −84,63 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−213)²) = 213,9 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−213/20) = −84,63°

Відповідь

φ = −84,63°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 13,05

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,47·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,002/(0,47·10⁻⁶)) = 13,05

Відповідь

Q = 13,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism