Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +8 µC і +3 µC розташовані на відстані 40 cm. На якій відстані x від заряду +8 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +8 µCq₂ = +3 µCd = 40 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 80 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 5° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 80 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 10 ms, у mJ.

V_s = 12 VR = 10 ΩL = 68 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 3 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 4,2 V? Знайдіть t.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 80 см ковзає зі швидкістю 5 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,8 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 1 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть силу F, потрібну для підтримання сталої швидкості стрижня (тертя немає).

B = 0,8 TL = 80 cmv = 5 m/sR = 1 Ω

F = N

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 250 витків, 5 см × 10 см, обертається в однорідному полі 0,4 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 111,1 В?

N = 250A = 5 cm × 10 cmB = 0,4 TE_rms = 111,1 V

n = rpm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mH

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 24,81 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

8/x² = 3/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(3/8) = 0,6124

Положення

x = 40/(1 + 0,6124) = 24,81 cm

Відповідь

x = 24,81 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 136,3 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 5° = 0,008583 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 5° = 0,1394 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1394·√(0,008583/8,99 × 10⁹) = 1,363 × 10⁻⁷ C = 136,3 nC

Відповідь

q = 136,3 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,4138 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 2 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω

R_eq = R₁ + 1,6 = 10 + 1,6 = 11,6 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,6 = 0,5172 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,5172·10 = 0,8276 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,8276/2 = 0,4138 A

Відповідь

I_R2 = 0,4138 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 13,13 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 8,333 Ω

R₂ ∥ 8,333 = 3,125 Ω

R_eq = R₁ + 3,125 = 10 + 3,125 = 13,13 Ω

Відповідь

R_eq = 13,13 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 29,04 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms

i(∞) = V_s/R = 12/10 = 1,2 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1,2·(1 − e^−10/6,8) = 0,9243 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·68·0,9243² = 29,04 mJ

Відповідь

W = 29,04 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 201,6 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 5 + (3 − 5)·e^−t/τ

Виразіть час

4,2 = 5 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4,2 − 5)/(3 − 5) = 0,4

t = τ·ln((3 − 5)/(4,2 − 5)) = 220·ln(2,5) = 201,6 ms

Відповідь

t = 201,6 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F = 2,048 N

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,8·0,8·5 = 3,2 V

Струм

I = ε/R = 3,2/1 = 3,2 A

Гальмівна сила

Правило Ленца: сила, що діє на індукований струм, протидіє руху.

F = BIL = 0,8·3,2·0,8 = 2,048 N

Відповідь

F = 2,048 N

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 3001 rpm

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·E_rms = 157,1 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 157,1/(250·0,4·0,005) = 314,2 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·314,2/(2π) = 3001 rpm

Відповідь

n = 3001 rpm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 38,51 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·100·0,1 = 62,83 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 50/50 = 1 A

I_X = V/X_L = 50/62,83 = 0,7958 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 0,7958²) = 1,278 A

Кут зсуву фаз

Струм котушки відстає від V, тож загальний струм відстає, і кут додатний.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,7958/1) = 38,51°

Відповідь

φ = 38,51°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 723,6 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4,8 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 4,8·150,8 = 723,6 V

Відповідь

V_L = 723,6 V

Це в Q = 30,15 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism