Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++3 µC−−2 µC++1 µC20 cm + 20 cm

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +3 µC ліворуч, +1 µC праворуч на відстані 40 cm і −2 µC між ними, на відстані 20 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +3 µCqR = +1 µCqM = −2 µCrL = 20 cmrR = 20 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
8 cm3 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +4 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 4 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 6 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 4 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 6 µCq2 = 4 µCq3 = 4 µCr13 = 8 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​4 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​5 Vt = 0R = 33 ΩL220 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

Vs = 5 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​20 Vt = 0R = 6,8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 22,4 V? Знайдіть t.

Vs = 20 VR = 6,8 kΩC = 47 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
dB/dt < 0I = ?

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Індукція поля спадає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: зі сторінкиdB/dt < 0
  1. 1за годинниковою стрілкою
  2. 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
l = 30 cmN = 300, ⌀ 2,5 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 300 витків, довжину 30 см і діаметр 2,5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 300l = 30 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
100 V100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 15 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF

Послідовне RLC-коло має R = 15 Ω, L = 10 mH і C = 0,22 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 15 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF
Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

FL = −k·3·2 × 10⁻¹²/0,2² = −1,348 N
FR = +k·1·2 × 10⁻¹²/0,2² = 0,4495 N

Результуюча сила

F = −1,348 + (0,4495) = −0,899 N → |F| = 0,899 N

Відповідь

F = 0,899 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 163,3 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·6·4 × 10⁻¹²/0,08² = 33,71 N
F2 = k·4·4 × 10⁻¹²/0,03² = 159,8 N

Векторна сума

F = √(33,71² + 159,8²) = 163,3 N

Відповідь

F = 163,3 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 4,55 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 5 + 12 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 3·17/(3+17) = 2,55 Ω
Req = R1 + 2,55 = 2 + 2,55 = 4,55 Ω

Відповідь

Req = 4,55 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,181 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​4 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 6 + 4 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 6,667 Ω
R3 + 6,667 = 31,67 Ω
R2 ∥ 31,67 = 15,41 Ω
Req = R1 + 15,41 = 10 + 15,41 = 25,41 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/25,41 = 1,181 A

Відповідь

IR1 = 1,181 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,07994 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0,1515 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,1515·(1 − e−5/6,667) = 0,07994 A

Відповідь

i = 0,07994 A
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 163,3 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms
vC(t) = 20 + (24 − 20)·e−t/τ

Виразіть час

22,4 = 20 + (4)·e−t/τ → e−t/τ = (22,4 − 20)/(24 − 20) = 0,6
t = τ·ln((24 − 20)/(22,4 − 20)) = 319,6·ln(1,667) = 163,3 ms

Відповідь

t = 163,3 ms
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 185,1 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0,0004909/0,3 = 0,0001851 H = 185,1 µH

Відповідь

L = 185,1 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 49,21 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (28,97)²) = 38,26 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(28,97/25) = 49,21°

Відповідь

φ = 49,21°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 14,21

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,01·0,22·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,01/(0,22·10⁻⁶)) = 14,21

Відповідь

Q = 14,21

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism