Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++5 µC++6 µCP30 cm

Заряд +5 µC і заряд +6 µC розташовані на відстані 30 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 15 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +5 µCq2 = +6 µCr1 = 15 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
8 cm10 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +3 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 2 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 3 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 2 µCq2 = 3 µCq3 = 6 µCr13 = 8 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩIR2​AR4​8 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 2 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​25 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 20 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​5 Vt = 0R = 22 ΩL68 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 99% кінцевого значення? Знайдіть t.

Vs = 5 VR = 22 ΩL = 68 mH
t = ms
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​24 Vt = 0R = 6,8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 10 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 400 ms.

Vs = 24 VR = 6,8 kΩC = 47 µFvC(0) = 10 Vt = 400 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 80 cm², N = 200B: 0 → 0,2 T

Котушка з 200 витків має площу 80 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0 Тл до 0,2 Тл за 250 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 200A = 80 cm²B: 0 T → 0,2 TΔt = 250 ms
ε = V
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
I = 2 Al = 15 cmN = 800, ⌀ 1 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 800 витків, довжину 15 см і діаметр 1 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 2 А.

N = 800l = 15 cm⌀ = 1 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
100 V50 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 47 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 47 µF
cos φ =
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
120 V50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF
f0 = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 399556 N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,15² = 2,397 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,998 × 10⁶ − 2,397 × 10⁶| = 399556 N/C

Відповідь

E = 399556 N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 23,37 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·2·6 × 10⁻¹²/0,08² = 16,86 N
F2 = k·3·6 × 10⁻¹²/0,1² = 16,18 N

Векторна сума

F = √(16,86² + 16,18²) = 23,37 N

Відповідь

F = 23,37 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,72 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​8 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 8 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 6 + 4 = 10 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/10 = 0,9 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,9·6 = 3,6 V
IR2 = VA/R2 = 3,6/5 = 0,72 A

Відповідь

IR2 = 0,72 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,183 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​2 ΩBR6​25 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 20 + 25 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 1,915 Ω
R3 + 1,915 = 11,91 Ω
R2 ∥ 11,91 = 7,467 Ω
Req = R1 + 7,467 = 2 + 7,467 = 9,467 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/9,467 = 3,169 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 3,169·2 = 23,66 V
IR2 = VA/R2 = 23,66/20 = 1,183 A

Відповідь

IR2 = 1,183 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 14,23 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0,2273 A

Виразіть час

0,99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)
t = −3,091·ln(0,01) = 14,23 ms

Відповідь

t = 14,23 ms
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 20 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms
vC(t) = 24 + (10 − 24)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(400) = 24 + (−14)·e−400/319,6 = 20 V

Відповідь

vC = 20 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 1,28 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,2 − 0)·0,008 = 0,0016 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0016/0,25 = 1,28 V

Відповідь

ε = 1,28 V
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 842,2 µJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 421,1 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,0004211·2² = 0,0008422 J = 842,2 µJ

Відповідь

W = 842,2 µJ
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,9246

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 47,12 Ω, XC = 67,73 Ω

Повний опір

|Z| = √(50² + (−20,6)²) = 54,08 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 50/54,08 = 0,9246
Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,9246
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 239,9 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·22·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

Відповідь

f0 = 239,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism