Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +3 µC і +4 µC розташовані на відстані 100 cm. На якій відстані x від заряду +3 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +4 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 1,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 8 cm, напруженість поля між ними 4800 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 4800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 5 ms, у mJ.

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 15 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 100 ms.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 15 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 25 витків, площею 100 cm² і опором 20 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,2 Тл до 0,4 Тл за 250 мс. Знайдіть середній індукований струм I.

N = 25A = 100 cm²B: 0,2 T → 0,4 TΔt = 250 msR = 20 Ω

I = mA

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 40 мГн рівномірно змінюється від 1 А до 4 А за 50 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 40 mH1 A → 4 AΔt = 50 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 15 Ω, L = 50 mH і C = 2,2 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 15 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 46,41 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

3/x² = 4/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(4/3) = 1,155

Положення

x = 100/(1 + 1,155) = 46,41 cm

Відповідь

x = 46,41 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 12,01 mm

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,08/1,5 × 10⁷ = 5,333 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4800/9,109 × 10⁻³¹ = 8,442 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·8,442 × 10¹⁴·(5,333 × 10⁻⁹)² = 0,01201 m = 12,01 mm

Відповідь

y = 12,01 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 7,5 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4,5 Ω

R_eq = R₁ + 4,5 = 3 + 4,5 = 7,5 Ω

Відповідь

R_eq = 7,5 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5029 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 3,733 Ω

R₃ + 3,733 = 13,73 Ω

R₂ ∥ 13,73 = 8,142 Ω

R_eq = R₁ + 8,142 = 4 + 8,142 = 12,14 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,14 = 1,235 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,235·4 = 10,06 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,06/20 = 0,5029 A

Відповідь

I_R2 = 0,5029 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 0,9341 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0,1818 A

Струм у заданий момент

i(t) = 0,1818·(1 − e^−5/2,061) = 0,1658 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·68·0,1658² = 0,9341 mJ

Відповідь

W = 0,9341 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 17,44 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 20 + (15 − 20)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(100) = 20 + (−5)·e^−100/149,6 = 17,44 V

Відповідь

v_C = 17,44 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 10 mA

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,4 − 0,2)·0,01 = 0,002 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,002/0,25 = 0,2 V

Струм

I = ε/R = 0,2/20 = 0,01 A

Відповідь

I = 10 mA

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 2,4 V

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·3/0,05 = 2,4 V

Відповідь

ε = 2,4 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 12,12 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (17,17)²) = 81,82 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(17,17/80) = 12,12°

Відповідь

φ = 12,12°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 10,05

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,05/(2,2·10⁻⁶)) = 10,05

Відповідь

Q = 10,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism