Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++1 µC++8 µCr = 10 cm

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +1 µC і +8 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 10 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +1 µCq2 = +8 µCr = 10 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
6 cm10 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +10 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 10 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 3 µCq2 = 10 µCq3 = 8 µCr13 = 6 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩIR2​AR4​12 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 24 VR1 = 25 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 ΩR5 = 25 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 15 Ωt = 0L220 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть напругу vR на R при t = 25 ms.

i(0) = 3 AR = 15 ΩL = 220 mHt = 25 ms
vR = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​5 Vt = 0R = 2,2 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 4 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 80 ms.

Vs = 5 VR = 2,2 kΩC = 22 µFvC(0) = 4 Vt = 80 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
vI = ?

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим зі сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: зі сторінкивходить у поле
  1. 1за годинниковою стрілкою
  2. 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Bn = ?10 cm × 25 cmN = 100B = 0,4 T

Котушка з 100 витків, 10 см × 25 см, обертається в однорідному полі 0,4 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 111,1 В?

N = 100A = 10 cm × 25 cmB = 0,4 TErms = 111,1 V
n = rpm
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 60 HzRL = 100 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 100 mH має резонувати на частоті 60 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 60 HzL = 100 mH
C = µF
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 2 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Послідовне RLC-коло має R = 2 Ω, L = 50 mH і C = 10 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 2 ΩL = 50 mHC = 10 µF
B = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 18,2 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (1 + 8)/2 = 4,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(4,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 18,2 N

Відповідь

F = 18,2 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 93,62 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·3·8 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N
F2 = k·10·8 × 10⁻¹²/0,1² = 71,92 N

Векторна сума

F = √(59,93² + 71,92²) = 93,62 N

Відповідь

F = 93,62 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,138 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2,64 Ω
Req = R1 + 2,64 = 2 + 2,64 = 4,64 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/4,64 = 1,293 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 1,293·2 = 3,414 V
IR2 = VA/R2 = 3,414/3 = 1,138 A

Відповідь

IR2 = 1,138 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,8069 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 25 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 25 + 8 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 7,674 Ω
R3 + 7,674 = 22,67 Ω
R2 ∥ 22,67 = 4,745 Ω
Req = R1 + 4,745 = 25 + 4,745 = 29,74 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/29,74 = 0,8069 A

Відповідь

IR1 = 0,8069 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vR = 8,183 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms

Спадання струму

i(t) = 3·e−25/14,67 = 0,5456 A
vR = R·i = 15·0,5456 = 8,183 V

Відповідь

vR = 8,183 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 4,809 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(80) = 5 + (−1)·e−80/48,4 = 4,809 V

Відповідь

vC = 4,809 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 1500 rpm

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·Erms = 157,1 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 157,1/(100·0,4·0,025) = 157,1 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·157,1/(2π) = 1500 rpm

Відповідь

n = 1500 rpm
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 70,36 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,1) = 70,36 µF

Відповідь

C = 70,36 µF
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 6,366 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,05/(10·10⁻⁶)) = 35,36

Смуга пропускання

B = f0/Q = 225,1/35,36 = 6,366 Hz

Відповідь

B = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism