Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +4 µC і заряд +2 µC розташовані на відстані 20 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 10 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 100 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 100 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 2 ms.

V_s = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 2 см один від одного проводять струми 5 А і 15 А в одному напрямку. Знайдіть модуль магнітної індукції B у точці P посередині між ними.

I₁ = 5 AI₂ = 15 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Альфа-частинка починає рух зі стану спокою, прискорюється в різниці потенціалів 500 В, а потім влітає в однорідне магнітне поле 0,8 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r його траєкторії в полі.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0,8 T

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 4,7 µF має резонувати на частоті 60 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 60 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,798 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1² = 3,596 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |3,596 × 10⁶ − 1,798 × 10⁶| = 1,798 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 1,798 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 481,7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 10° = 0,0173 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 10° = 0,3473 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3473·√(0,0173/8,99 × 10⁹) = 4,817 × 10⁻⁷ C = 481,7 nC

Відповідь

q = 481,7 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 8,471 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 3·14/(3+14) = 2,471 Ω

R_eq = R₁ + 2,471 = 6 + 2,471 = 8,471 Ω

Відповідь

R_eq = 8,471 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 11,61 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 3 + 4 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 3,231 Ω

R₃ + 3,231 = 8,231 Ω

R₂ ∥ 8,231 = 1,609 Ω

R_eq = R₁ + 1,609 = 10 + 1,609 = 11,61 Ω

Відповідь

R_eq = 11,61 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 2,881 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/3,03 = 2,881 V

Відповідь

v_L = 2,881 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,6756 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 15/(20 + 10) = 0,5 A

i(∞) = 15/20 = 0,75 A

τ = L/R = 33/20 = 1,65 ms

i(t) = 0,75 + (0,5 − 0,75)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(2) = 0,75 + (−0,25)·e^−2/1,65 = 0,6756 A

Відповідь

i = 0,6756 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 200 µT

Магнітне поле струмів: навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола (правило правої руки), і B = μ₀I/(2πr). У центрі плоскої колової котушки з N витків B = μ₀NI/(2R). Усередині довгого соленоїда поле однорідне, B = μ₀nI, де n = N/L витків на метр, незалежно від радіуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Працюйте в одиницях СІ (метри й ампери) і додавайте поля кількох джерел як вектори.

Поле кожного провідника в точці P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·5/0,01 = 100 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·15/0,01 = 300 µT

Об’єднайте

B = |B₁ − B₂| = 200 µT

Відповідь

B = 200 µT

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,5693 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Швидкість після прискорення

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·500/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 219583 m/s

Радіус у полі

r = mv/(|q|B) = 0,005693 m = 0,5693 cm

Відповідь

r = 0,5693 cm

Разом: r = √(2mV/|q|)/B, тож важчі іони з тим самим зарядом рухаються по більших колах; так розділяють ізотопи.

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 1497 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·4,7·10⁻⁶) = 1497 mH

Відповідь

L = 1497 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 175 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,47·10⁻⁶) = 14586 rad/s

I = V/R = 24/20 = 1,2 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 14586·0,01 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 1,2·145,9 = 175 V

Відповідь

V_L = 175 V

Це в Q = 7,293 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism