Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +3 µC і заряд +1 µC розташовані на відстані 30 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 15 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +4 µC і +4 µC розташовані на відстані 6 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 8 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +4 µCd = 6 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 95% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 68 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 47 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 3 см один від одного проводять струми 12 А і 25 А в одному напрямку. Знайдіть модуль магнітної індукції B у точці P посередині між ними.

I₁ = 12 AI₂ = 25 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 10 мГн рівномірно змінюється від 2,5 А до 2 А за 50 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 10 mH2,5 A → 2 AΔt = 50 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 50 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 50 HzL = 50 mH

C = µF

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 799111 N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,199 × 10⁶ − 399556| = 799111 N/C

Відповідь

E = 799111 N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 9,225 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(3² + 8²) = 8,544 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,08544² = 4,926 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,926 × 10⁶·0,9363 = 9,225 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 9,225 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 14,94 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 12·35/(12+35) = 8,936 Ω

R_eq = R₁ + 8,936 = 6 + 8,936 = 14,94 Ω

Відповідь

R_eq = 14,94 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,454 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 10,48 Ω

R₃ + 10,48 = 20,48 Ω

R₂ ∥ 20,48 = 12,17 Ω

R_eq = R₁ + 12,17 = 20 + 12,17 = 32,17 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/32,17 = 1,119 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1,119·20 = 13,62 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,62/30 = 0,454 A

Відповідь

I_R2 = 0,454 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 2,996 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/68 = 0,1471 A

Виразіть час

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −1·ln(0,05) = 2,996 ms

Відповідь

t = 2,996 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1679 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 9/47 = 0,1915 A

i(∞) = 9/(47 + 10) = 0,1579 A

τ = L/R = 47/57 = 0,8246 ms

i(t) = 0,1579 + (0,1915 − 0,1579)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,1579 + (0,03359)·e^−1/0,8246 = 0,1679 A

Відповідь

i = 0,1679 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 173,3 µT

Магнітне поле струмів: навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола (правило правої руки), і B = μ₀I/(2πr). У центрі плоскої колової котушки з N витків B = μ₀NI/(2R). Усередині довгого соленоїда поле однорідне, B = μ₀nI, де n = N/L витків на метр, незалежно від радіуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Працюйте в одиницях СІ (метри й ампери) і додавайте поля кількох джерел як вектори.

Поле кожного провідника в точці P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·12/0,015 = 160 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·25/0,015 = 333,3 µT

Об’єднайте

B = |B₁ − B₂| = 173,3 µT

Відповідь

B = 173,3 µT

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 0,1 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,01·0,5/0,05 = 0,1 V

Відповідь

ε = 0,1 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 202,6 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,05) = 202,6 µF

Відповідь

C = 202,6 µF

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 782,8 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,47·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 24/10 = 2,4 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 6523·0,05 = 326,2 Ω

V_L = I·X_L = 2,4·326,2 = 782,8 V

Відповідь

V_L = 782,8 V

Це в Q = 32,62 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism