Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
−−6 µC−−3 µCr = 25 cm

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −6 µC і −3 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 25 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −6 µCq2 = −3 µCr = 25 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
+−P2 × 6 cm10 cm+8 µC−8 µC

Заряди +8 µC і −8 µC розташовані на відстані 12 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 10 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +8 µCq2 = −8 µCd = 12 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​4 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩC47 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 47 µF
τ = ms
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​9 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 30 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 15,3 V? Знайдіть t.

Vs = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 100 cm², N = 25B = 0,3 T

Котушка з 25 витків має площу 100 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,3 Тл, перпендикулярному до її площини, за 500 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 25A = 100 cm²B = 0,3 TΔt = 500 ms
ε = mV
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Bn = 1800 rpm12 cm × 20 cmN = 250B = 0,2 T

Котушка з 250 витків, 12 см × 20 см, обертається зі швидкістю 1800 об/хв в однорідному полі 0,2 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення Erms ЕРС.

N = 250A = 12 cm × 20 cmB = 0,2 Tn = 1800 rpm
Erms = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
100 V50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF
cos φ =
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
24 V200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µF
f0 = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 2,913 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−6 + −3)/2 = −4,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(4,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 2,913 N

Відповідь

F = 2,913 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 5,442 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(6² + 10²) = 11,66 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,1166² = 5,288 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E1·(a/r) = 2·5,288 × 10⁶·0,5145 = 5,442 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 5,442 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 4,026 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​4 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 10 + 4 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 3·14/(3+14) = 2,471 Ω
Req = R1 + 2,471 = 2 + 2,471 = 4,471 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/4,471 = 4,026 A

Відповідь

IR1 = 4,026 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,801 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 3 + 2 = 5 Ω
R4 ∥ 5 = 3,529 Ω
R3 + 3,529 = 13,53 Ω
R2 ∥ 13,53 = 9,324 Ω
Req = R1 + 9,324 = 4 + 9,324 = 13,32 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/13,32 = 1,801 A

Відповідь

IR1 = 1,801 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 42,73 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ
vC(∞) = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 V

Стала часу

τ = Rth·C = 0,9091·47 = 42,73 ms

Відповідь

τ = 42,73 ms
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 12,04 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 9 + (30 − 9)·e−t/τ

Виразіть час

15,3 = 9 + (21)·e−t/τ → e−t/τ = (15,3 − 9)/(30 − 9) = 0,3
t = τ·ln((30 − 9)/(15,3 − 9)) = 10·ln(3,333) = 12,04 ms

Відповідь

t = 12,04 ms
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 300 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,3·0,01 = 0,006 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,006/0,5 = 0,3 V

Відповідь

ε = 300 mV
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: Erms = 159,9 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
A = 0,024 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 250·0,2·0,024·188,5 = 226,2 V

Діюче значення

Erms = 226,2/√2 = 159,9 V

Відповідь

Erms = 159,9 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,5671

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 31,42 Ω, XC = 67,73 Ω

Повний опір

|Z| = √(25² + (−36,31)²) = 44,08 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 25/44,08 = 0,5671
Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,5671
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 355,9 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Відповідь

f0 = 355,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism