Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++3 µC++6 µCP30 cm

Заряд +3 µC і заряд +6 µC розташовані на відстані 30 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 12 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +3 µCq2 = +6 µCr1 = 12 cmr2 = 18 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
4 cm5 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +5 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 5 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 5 µCq2 = 5 µCq3 = 8 µCr13 = 4 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​36 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​10 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 25 ΩR4 = 8 ΩR5 = 3 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​12 Vt = 0R = 47 ΩL10 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.

Vs = 12 VR = 47 ΩL = 10 mH
W(∞) = mJ
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 4,7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 12 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 750 ms.

Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 220 µFvC(0) = 12 Vt = 750 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 200 cm², N = 200B: 0,2 → 0,3 T

Котушка з 200 витків має площу 200 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,2 Тл до 0,3 Тл за 10 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 200A = 200 cm²B: 0,2 T → 0,3 TΔt = 10 ms
ε = V
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
l = 10 cmN = 300, ⌀ 3 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 300 витків, довжину 10 см і діаметр 3 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 300l = 10 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 500 HzRL = 10 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 10 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 500 HzL = 10 mH
C = µF
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
5 Vf0​R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 5 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF
VL = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 208102 N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,12² = 1,873 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,18² = 1,665 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,873 × 10⁶ − 1,665 × 10⁶| = 208102 N/C

Відповідь

E = 208102 N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 266,8 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·5·8 × 10⁻¹²/0,04² = 224,7 N
F2 = k·5·8 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N

Векторна сума

F = √(224,7² + 143,8²) = 266,8 N

Відповідь

F = 266,8 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 2,53 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2,917 Ω
Req = R1 + 2,917 = 4 + 2,917 = 6,917 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/6,917 = 4,337 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 4,337·4 = 12,65 V
IR2 = VA/R2 = 12,65/5 = 2,53 A

Відповідь

IR2 = 2,53 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 8,314 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​36 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​10 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 3 + 10 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 4,952 Ω
R3 + 4,952 = 29,95 Ω
R2 ∥ 29,95 = 6,314 Ω
Req = R1 + 6,314 = 2 + 6,314 = 8,314 Ω

Відповідь

Req = 8,314 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W(∞) = 0,3259 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0,2553 A

Накопичена енергія

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0,2553² = 0,3259 mJ

Відповідь

W(∞) = 0,3259 mJ
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 10,97 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 10 + (12 − 10)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(750) = 10 + (2)·e−750/1034 = 10,97 V

Відповідь

vC = 10,97 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 40 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,3 − 0,2)·0,02 = 0,002 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,002/0,01 = 40 V

Відповідь

ε = 40 V
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 799,4 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0,0007069/0,1 = 0,0007994 H = 799,4 µH

Відповідь

L = 799,4 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 10,13 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,01) = 10,13 µF

Відповідь

C = 10,13 µF
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 51,57 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,47·10⁻⁶) = 20628 rad/s
I = V/R = 5/10 = 0,5 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 20628·0,005 = 103,1 Ω
VL = I·XL = 0,5·103,1 = 51,57 V

Відповідь

VL = 51,57 V

Це в Q = 10,31 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism