Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −10 µC ліворуч, +5 µC праворуч на відстані 20 cm і +5 µC між ними, на відстані 8 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = +5 µCq_M = +5 µCr_L = 8 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 2 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 1,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть напругу v_R на R при t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 11,4 V? Знайдіть t.

V_s = 6 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Провідник проводить струм униз по сторінці в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що діє на провідник.

I: униз по сторінціB: зі сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 800 витків, довжину 50 см і діаметр 2,5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 800l = 50 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 20 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 50 HzL = 20 mH

C = µF

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 85,84 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·10·5 × 10⁻¹²/0,08² = −70,23 N

F_R = −k·5·5 × 10⁻¹²/0,12² = −15,61 N

Результуюча сила

F = −70,23 + (−15,61) = −85,84 N → |F| = 85,84 N

Відповідь

F = 85,84 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 100,5 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·4·2 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0,04² = 89,9 N

Векторна сума

F = √(44,95² + 89,9²) = 100,5 N

Відповідь

F = 100,5 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,235 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 3 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 8·9/(8+9) = 4,235 Ω

R_eq = R₁ + 4,235 = 2 + 4,235 = 6,235 Ω

Відповідь

R_eq = 6,235 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 20,39 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 15 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 4,56 Ω

R₃ + 4,56 = 16,56 Ω

R₂ ∥ 16,56 = 5,394 Ω

R_eq = R₁ + 5,394 = 15 + 5,394 = 20,39 Ω

Відповідь

R_eq = 20,39 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_R = 7,245 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Спадання струму

i(t) = 1,5·e^−1/0,33 = 0,07245 A

v_R = R·i = 100·0,07245 = 7,245 V

Відповідь

v_R = 7,245 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 270,2 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

Виразіть час

11,4 = 6 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11,4 − 6)/(24 − 6) = 0,3

t = τ·ln((24 − 6)/(11,4 − 6)) = 224,4·ln(3,333) = 270,2 ms

Відповідь

t = 270,2 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ліворуч

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

I: униз по сторінці, B: зі сторінки

Напрямок сили

ліворуч

Відповідь

F: ліворуч

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 789,6 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,0004909/0,5 = 0,0007896 H = 789,6 µH

Відповідь

L = 789,6 µH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 506,6 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,02) = 506,6 µF

Відповідь

C = 506,6 µF

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 39,1 Ω

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,81 − j4,728 Ω

Повний опір

Z = 20 + 18,81 − j4,728 = 38,81 − j4,728 Ω

|Z| = √(38,81² + 4,728²) = 39,1 Ω

Відповідь

|Z| = 39,1 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism