Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +10 µC ліворуч, +8 µC праворуч на відстані 10 cm і +8 µC між ними, на відстані 7,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +10 µCq_R = +8 µCq_M = +8 µCr_L = 7,5 cmr_R = 2,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 5 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 4 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 4 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 250 ms.

V_s = 9 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 68 µFt = 250 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 6,75 V, рівно через 50 ms після старту. При C = 4,7 µF знайдіть потрібний опір R.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 50 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Індукція поля зростає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: у площину сторінкиdB/dt > 0

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Коротку котушку з 20 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 500 витків, довжиною 40 см і діаметром 2 см. Знайдіть їхню взаємну індуктивність M.

N₁ = 500N₂ = 20l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 80 ΩC = 47 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 792,7 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·10·8 × 10⁻¹²/0,075² = 127,9 N

F_R = −k·8·8 × 10⁻¹²/0,025² = −920,6 N

Результуюча сила

F = 127,9 + (−920,6) = −792,7 N → |F| = 792,7 N

Відповідь

F = 792,7 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 110,8 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,04² = 84,28 N

F₂ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N

Векторна сума

F = √(84,28² + 71,92²) = 110,8 N

Відповідь

F = 110,8 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,408 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω

R_eq = R₁ + 2,654 = 3 + 2,654 = 5,654 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/5,654 = 1,592 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1,592·3 = 4,224 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,224/3 = 1,408 A

Відповідь

I_R2 = 1,408 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 12,71 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 30 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 14,67 Ω

R₃ + 14,67 = 16,67 Ω

R₂ ∥ 16,67 = 10,71 Ω

R_eq = R₁ + 10,71 = 2 + 10,71 = 12,71 Ω

Відповідь

R_eq = 12,71 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 4,901 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·6,8/(3,3 + 6,8) = 2,222 kΩ

v_C(∞) = 9·6,8/(3,3 + 6,8) = 6,059 V

Стала часу

τ = R_th·C = 2,222·68 = 151,1 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 6,059·(1 − e^−250/151,1) = 4,901 V

Відповідь

v_C = 4,901 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 7,674 kΩ

Потрібна стала часу

6,75 = 9·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 50/1,386 = 36,07 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 36,07/4,7 = 7,674 kΩ

Відповідь

R = 7,674 kΩ

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: M = 9,87 µH

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·20·0,0003142/0,4 = 9,87 µH

Відповідь

M = 9,87 µH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,9051

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 18,85 Ω, X_C = 56,44 Ω

Повний опір

|Z| = √(80² + (−37,59)²) = 88,39 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 80/88,39 = 0,9051

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,9051

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,172 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 26,58 − j37,68 Ω

Повний опір

Z = 50 + 26,58 − j37,68 = 76,58 − j37,68 Ω

|Z| = √(76,58² + 37,68²) = 85,35 Ω

Струм

I = V/|Z| = 100/85,35 = 1,172 A

Відповідь

I = 1,172 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism