Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −5 µC і +4 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 20 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = +4 µCr = 20 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 1 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 10 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 10 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 10 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 19,8 V? Знайдіть t.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 250 витків має площу 200 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,3 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 500 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 250A = 200 cm²B = 0,3 TΔt = 500 ms

ε = V

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Протон проходить без відхилення крізь селектор швидкостей зі схрещеними полями E = 5 × 10⁵ В/м і B₁ = 0,5 Тл. Потім вона влітає в другу область лише з магнітним полем B₂ = 1 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r її траєкторії там.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,5 TB₂ = 1 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,05619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−5 + 4)/2 = −0,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 0,05619 N

Відповідь

F = 0,05619 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 56,9 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·10·1 × 10⁻¹²/0,1² = 8,99 N

F₂ = k·10·1 × 10⁻¹²/0,04² = 56,19 N

Векторна сума

F = √(8,99² + 56,19²) = 56,9 N

Відповідь

F = 56,9 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,585 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 2·21/(2+21) = 1,826 Ω

R_eq = R₁ + 1,826 = 12 + 1,826 = 13,83 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,83 = 1,736 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,736·12 = 3,17 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,17/2 = 1,585 A

Відповідь

I_R2 = 1,585 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 3,87 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 5 + 3 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 5,714 Ω

R₃ + 5,714 = 15,71 Ω

R₂ ∥ 15,71 = 5,301 Ω

R_eq = R₁ + 5,301 = 4 + 5,301 = 9,301 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/9,301 = 3,87 A

Відповідь

I_R1 = 3,87 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,7358 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

Спадання струму

i(t) = 2·e^−1/1 = 0,7358 A

Відповідь

i = 0,7358 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 242,5 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 24 + (18 − 24)·e^−t/τ

Виразіть час

19,8 = 24 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19,8 − 24)/(18 − 24) = 0,7

t = τ·ln((18 − 24)/(19,8 − 24)) = 680·ln(1,429) = 242,5 ms

Відповідь

t = 242,5 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 3 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,3·0,02 = 0,006 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,006/0,5 = 3 V

Відповідь

ε = 3 V

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 1,044 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,5 = 1 × 10⁶ m/s

Радіус у другому полі

r = mv/(|q|B₂) = 0,01044 m = 1,044 cm

Відповідь

r = 1,044 cm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 27,07 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·200·0,05 = 62,83 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 12/30 = 0,4 A

I_X = V/X_L = 12/62,83 = 0,191 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,4² + 0,191²) = 0,4433 A

Повний опір

|Z| = V/I = 12/0,4433 = 27,07 Ω

Відповідь

|Z| = 27,07 Ω

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1174 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−101,7)²) = 102,2 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/102,2 = 0,1174 A

Відповідь

I = 0,1174 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism