Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +6 µC ліворуч, +4 µC праворуч на відстані 40 cm і +10 µC між ними, на відстані 20 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = +4 µCq_M = +10 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 2 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 8 cm, напруженість поля між ними 3200 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 3200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 200 ms.

V_s = 20 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 200 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 6 VR₁ = 47 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 2 см один від одного проводять струми 12 А і 30 А у протилежних напрямках. Знайдіть силу на метр довжини F/L між ними.

I₁ = 12 AI₂ = 30 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

У селекторі швидкостей схрещені поля E = 2 × 10⁴ В/м і B = 0,5 Тл пропускають прямо лише іони однієї швидкості. Знайдіть цю швидкість v.

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0,5 T

v = m/s

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 4,495 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·6·10 × 10⁻¹²/0,2² = 13,48 N

F_R = −k·4·10 × 10⁻¹²/0,2² = −8,99 N

Результуюча сила

F = 13,48 + (−8,99) = 4,495 N → |F| = 4,495 N

Відповідь

F = 4,495 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 4,502 mm

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,08/2 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3200/9,109 × 10⁻³¹ = 5,628 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·5,628 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,004502 m = 4,502 mm

Відповідь

y = 4,502 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,2647 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 3·24/(3+24) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 20 + 2,667 = 22,67 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/22,67 = 0,2647 A

Відповідь

I_R1 = 0,2647 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,779 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 2 + 2 = 4 Ω

R₄ ∥ 4 = 3 Ω

R₃ + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 5,238 Ω

R_eq = R₁ + 5,238 = 15 + 5,238 = 20,24 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/20,24 = 1,779 A

Відповідь

I_R1 = 1,779 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 7,744 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·10/(6,8 + 10) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 20·10/(6,8 + 10) = 11,9 V

Стала часу

τ = R_th·C = 4,048·47 = 190,2 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 11,9·(1 − e^−200/190,2) = 7,744 V

Відповідь

v_C = 7,744 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1194 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 6/(47 + 10) = 0,1053 A

i(∞) = 6/47 = 0,1277 A

τ = L/R = 47/47 = 1 ms

i(t) = 0,1277 + (0,1053 − 0,1277)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,1277 + (−0,0224)·e^−1/1 = 0,1194 A

Відповідь

i = 0,1194 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F/L = 3600 µN/m

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·12·30/0,02 = 3600 µN/m

Відповідь

F/L = 3600 µN/m

Струми протилежних напрямків відштовхуються.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: v = 40000 m/s

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0,5 = 40000 m/s

Відповідь

v = 40000 m/s

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −53,76 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−81,85)²) = 101,5 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−81,85/60) = −53,76°

Відповідь

φ = −53,76°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 52,8 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−127,7)²) = 150,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/150,7 = 0,3317 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,3317·159,2 = 52,8 V

Відповідь

V_C = 52,8 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism