Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++2 µC++6 µCP20 cm

Заряд +2 µC і заряд +6 µC розташовані на відстані 20 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 8 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +2 µCq2 = +6 µCr1 = 8 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
+−P2 × 5 cm6 cm+2 µC−2 µC

Заряди +2 µC і −2 µC розташовані на відстані 10 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 6 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 10 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​10 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​8 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 68 Ωt = 0L22 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

i(0) = 3 AR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​15 Vt = 0R = 6,8 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 400 ms.

Vs = 15 VR = 6,8 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 Vt = 400 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
IBF = ?

Провідник проводить струм ліворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що діє на провідник.

I: ліворучB: зі сторінки
  1. 1угору по сторінці
  2. 2праворуч
  3. 3униз по сторінці
  4. 4ліворуч
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
l = 50 cmN = 100, ⌀ 1,5 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 100 витків, довжину 50 см і діаметр 1,5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 100l = 50 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
12 V200 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 100 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
120 V500 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 80 ΩC = 2,2 µFI

Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR1 = 10 ΩR2 = 80 ΩC = 2,2 µF
I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 936458 N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,08² = 2,809 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,12² = 3,746 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |2,809 × 10⁶ − 3,746 × 10⁶| = 936458 N/C

Відповідь

E = 936458 N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,774 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(5² + 6²) = 7,81 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,0781² = 2,948 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E1·(a/r) = 2·2,948 × 10⁶·0,6402 = 3,774 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 3,774 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 13,11 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​10 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω
Req = R1 + 3,111 = 10 + 3,111 = 13,11 Ω

Відповідь

Req = 13,11 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,1604 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAR4​25 ΩBR6​8 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 13,21 Ω
R3 + 13,21 = 43,21 Ω
R2 ∥ 43,21 = 9,392 Ω
Req = R1 + 9,392 = 15 + 9,392 = 24,39 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/24,39 = 0,205 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,205·15 = 1,925 V
IR2 = VA/R2 = 1,925/12 = 0,1604 A

Відповідь

IR2 = 0,1604 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1364 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

Спадання струму

i(t) = 3·e−1/0,3235 = 0,1364 A

Відповідь

i = 0,1364 A
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 16,67 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 15 + (18 − 15)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(400) = 15 + (3)·e−400/680 = 16,67 V

Відповідь

vC = 16,67 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: угору по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

I: ліворуч, B: зі сторінки

Напрямок сили

угору по сторінці

Відповідь

F: угору по сторінці
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 4,441 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,0001767/0,5 = 4,441 × 10⁻⁶ H = 4,441 µH

Відповідь

L = 4,441 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 40,65 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (17,17)²) = 26,36 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(17,17/20) = 40,65°

Відповідь

φ = 40,65°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,521 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XC = 1/(2π·500·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 61,27 − j33,88 Ω

Повний опір

Z = 10 + 61,27 − j33,88 = 71,27 − j33,88 Ω
|Z| = √(71,27² + 33,88²) = 78,91 Ω

Струм

I = V/|Z| = 120/78,91 = 1,521 A

Відповідь

I = 1,521 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism