Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −6 µC ліворуч, +4 µC праворуч на відстані 30 cm і −6 µC між ними, на відстані 18 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −6 µCq_R = +4 µCq_M = −6 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +4 µC і −4 µC розташовані на відстані 16 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 8 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 16 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 47 mH

W(∞) = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 6,75 V, рівно через 200 ms після старту. При R = 10 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 200 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим зі сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: зі сторінкивходить у поле

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Дві котушки з індуктивностями 10 мГн і 200 мГн мають коефіцієнт зв’язку 0,4. Струм у першій котушці змінюється зі швидкістю 10 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в другій котушці.

L₁ = 10 mHL₂ = 200 mHk = 0,4di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 24,97 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·6·6 × 10⁻¹²/0,18² = 9,989 N

F_R = +k·4·6 × 10⁻¹²/0,12² = 14,98 N

Результуюча сила

F = 9,989 + (14,98) = 24,97 N → |F| = 24,97 N

Відповідь

F = 24,97 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,973 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(8² + 8²) = 11,31 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1131² = 2,809 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,809 × 10⁶·0,7071 = 3,973 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 3,973 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 18,16 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_eq = R₁ + 3,158 = 15 + 3,158 = 18,16 Ω

Відповідь

R_eq = 18,16 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,6332 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 3,077 Ω

R₃ + 3,077 = 18,08 Ω

R₂ ∥ 18,08 = 3,275 Ω

R_eq = R₁ + 3,275 = 20 + 3,275 = 23,28 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/23,28 = 0,7734 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,7734·20 = 2,533 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,533/4 = 0,6332 A

Відповідь

I_R2 = 0,6332 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W(∞) = 2,115 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0,3 A

Накопичена енергія

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·0,3² = 2,115 mJ

Відповідь

W(∞) = 2,115 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 14,43 µF

Потрібна стала часу

6,75 = 9·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 200/1,386 = 144,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 144,3/10 = 14,43 µF

Відповідь

C = 14,43 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 0,1789 V

Взаємна індуктивність

M = 0,4·√(10·200) = 17,89 mH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,01789·10 = 0,1789 V

Відповідь

ε = 0,1789 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3795 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−61,44)²) = 63,25 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/63,25 = 0,3795 A

Відповідь

I = 0,3795 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 0,4432 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (59,65)²) = 71,82 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/71,82 = 0,1392 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,1392·3,183 = 0,4432 V

Відповідь

V_C = 0,4432 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism