Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +1 µC і +3 µC розташовані на відстані 10 cm. На якій відстані x від заряду +1 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +1 µCq₂ = +3 µCd = 10 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 3 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 8 cm, напруженість поля між ними 700 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 10 ms, у mJ.

V_s = 20 VR = 20 ΩL = 100 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 25 ms.

V_s = 10 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 10 µFt = 25 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 10 витків має площу 10 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,4 Тл, перпендикулярному до її площини, за 200 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 10A = 10 cm²B = 0,4 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Коротку котушку з 20 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 800 витків, довжиною 30 см і діаметром 2 см. Струм у соленоїді змінюється зі швидкістю 100 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в короткій котушці.

N₁ = 800N₂ = 20l = 30 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩC = 100 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 15 Ω, L = 5 mH і C = 0,1 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 15 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 3,66 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

1/x² = 3/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(3/1) = 1,732

Положення

x = 10/(1 + 1,732) = 3,66 cm

Відповідь

x = 3,66 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 0,4377 mm

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,08/3 × 10⁷ = 2,667 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·700/9,109 × 10⁻³¹ = 1,231 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·1,231 × 10¹⁴·(2,667 × 10⁻⁹)² = 0,0004377 m = 0,4377 mm

Відповідь

y = 0,4377 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,7703 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω

R_eq = R₁ + 1,789 = 6 + 1,789 = 7,789 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,789 = 0,7703 A

Відповідь

I_R1 = 0,7703 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,74 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 30 + 5 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 7,778 Ω

R₃ + 7,778 = 32,78 Ω

R₂ ∥ 32,78 = 2,748 Ω

R_eq = R₁ + 2,748 = 3 + 2,748 = 5,748 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/5,748 = 1,74 A

Відповідь

I_R1 = 1,74 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 37,38 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms

i(∞) = V_s/R = 20/20 = 1 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1·(1 − e^−10/5) = 0,8647 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·100·0,8647² = 37,38 mJ

Відповідь

W = 37,38 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 0,7846 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 10·2,2/(6,8 + 2,2) = 2,444 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 2,2·10 = 22 ms

Розряджання

v_C(t) = 2,444·e^−25/22 = 0,7846 V

Відповідь

v_C = 0,7846 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 40 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,4·0,001 = 0,0008 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0008/0,2 = 0,04 V

Відповідь

ε = 40 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 2,106 mV

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·20·0,0003142/0,3 = 21,06 µH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 2,106 × 10⁻⁵·100 = 2,106 mV

Відповідь

ε = 2,106 mV

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 12,58 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 120/10 = 12 A

I_X = V/X_C = 120/31,83 = 3,77 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(12² + 3,77²) = 12,58 A

Відповідь

I = 12,58 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 14,91

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,1·10⁻⁶)) = 7118 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,005/(0,1·10⁻⁶)) = 14,91

Відповідь

Q = 14,91

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism