Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +6 µC і +10 µC розташовані на відстані 100 cm. На якій відстані x від заряду +6 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +6 µCq₂ = +10 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 1 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 5 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 68 µF

τ = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 150 ms.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 24 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим у площину сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: у площину сторінкивходить у поле

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 500 витків, 8 см × 25 см, обертається зі швидкістю 3000 об/хв в однорідному полі 0,4 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 500A = 8 cm × 25 cmB = 0,4 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 150 mH

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 10 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 10 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 43,65 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

6/x² = 10/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(10/6) = 1,291

Положення

x = 100/(1 + 1,291) = 43,65 cm

Відповідь

x = 43,65 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 108 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

F₂ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N

Векторна сума

F = √(5,394² + 107,9²) = 108 N

Відповідь

F = 108 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,167 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 2 + 5,714 = 7,714 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,714 = 1,167 A

Відповідь

I_R1 = 1,167 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,632 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 8 + 10 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 9,474 Ω

R₃ + 9,474 = 21,47 Ω

R₂ ∥ 21,47 = 2,632 Ω

R_eq = R₁ + 2,632 = 4 + 2,632 = 6,632 Ω

Відповідь

R_eq = 6,632 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 59,28 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 10·6,8/(1 + 6,8) = 8,718 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,8718·68 = 59,28 ms

Відповідь

τ = 59,28 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 14,61 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 5 + (24 − 5)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(150) = 5 + (19)·e^−150/220 = 14,61 V

Відповідь

v_C = 14,61 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 888,6 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,02 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 500·0,4·0,02·314,2 = 1257 V

Діюче значення

E_rms = 1257/√2 = 888,6 V

Відповідь

E_rms = 888,6 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 35,27 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 50/40 = 1,25 A

I_X = V/X_L = 50/56,55 = 0,8842 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,25² + 0,8842²) = 1,531 A

Кут зсуву фаз

Струм котушки відстає від V, тож загальний струм відстає, і кут додатний.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,8842/1,25) = 35,27°

Відповідь

φ = 35,27°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 353,6 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 10/2 = 5 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 14142·0,005 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 5·70,71 = 353,6 V

Відповідь

V_L = 353,6 V

Це в Q = 35,36 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism