Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +5 µC і −6 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 15 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −6 µCr = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 5 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 2 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 5,6 V? Знайдіть t.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим у площину сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: у площину сторінкивходить у поле

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 800 витків, довжину 10 см і діаметр 1,5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 4 А.

N = 800l = 10 cm⌀ = 1,5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 0,1 µF має резонувати на частоті 1000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 1000 HzC = 0,1 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 40 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,09989 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (5 + −6)/2 = −0,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,09989 N

Відповідь

F = 0,09989 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 79,51 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,08² = 42,14 N

F₂ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,04² = 67,42 N

Векторна сума

F = √(42,14² + 67,42²) = 79,51 N

Відповідь

F = 79,51 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,3474 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10,91 Ω

R_eq = R₁ + 10,91 = 15 + 10,91 = 25,91 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/25,91 = 0,3474 A

Відповідь

I_R1 = 0,3474 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,188 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 30 + 2 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 12,31 Ω

R₃ + 12,31 = 42,31 Ω

R₂ ∥ 42,31 = 1,91 Ω

R_eq = R₁ + 1,91 = 30 + 1,91 = 31,91 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/31,91 = 0,188 A

Відповідь

I_R1 = 0,188 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 3,311 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/1 = 3,311 V

Відповідь

v_L = 3,311 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 166,4 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

Виразіть час

5,6 = 5 + (3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5,6 − 5)/(8 − 5) = 0,2

t = τ·ln((8 − 5)/(5,6 − 5)) = 103,4·ln(5) = 166,4 ms

Відповідь

t = 166,4 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 11,37 mJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 1,421 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,001421·4² = 0,01137 J = 11,37 mJ

Відповідь

W = 11,37 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 253,3 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·0,1·10⁻⁶) = 253,3 mH

Відповідь

L = 253,3 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 81,56 Ω

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 29,66 − j17,51 Ω

Повний опір

Z = 50 + 29,66 − j17,51 = 79,66 − j17,51 Ω

|Z| = √(79,66² + 17,51²) = 81,56 Ω

Відповідь

|Z| = 81,56 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism