Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −6 µC ліворуч, −10 µC праворуч на відстані 30 cm і −3 µC між ними, на відстані 18 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −6 µCq_R = −10 µCq_M = −3 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +4 µC і −4 µC розташовані на відстані 8 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 8 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 8 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 10 ms.

i(0) = 2,5 AR = 22 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 47 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається по колу в однорідному магнітному полі 5 mT. Знайдіть час T одного оберту.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 5 mT

T = ns

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 200 витків, 20 см × 5 см, обертається зі швидкістю 900 об/хв в однорідному полі 0,25 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E₀.

N = 200A = 20 cm × 5 cmB = 0,25 Tn = 900 rpm

E₀ = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 100 Ω, L = 100 mH і C = 0,22 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0,22 µF

B = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 13,73 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·6·3 × 10⁻¹²/0,18² = 4,994 N

F_R = −k·10·3 × 10⁻¹²/0,12² = −18,73 N

Результуюча сила

F = 4,994 + (−18,73) = −13,73 N → |F| = 13,73 N

Відповідь

F = 13,73 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 4,02 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(4² + 8²) = 8,944 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,08944² = 4,495 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·4,495 × 10⁶·0,4472 = 4,02 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 4,02 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 3,123 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω

R_eq = R₁ + 3,684 = 4 + 3,684 = 7,684 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,684 = 3,123 A

Відповідь

I_R1 = 3,123 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,1689 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 25 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 15,25 Ω

R₃ + 15,25 = 35,25 Ω

R₂ ∥ 35,25 = 10,52 Ω

R_eq = R₁ + 10,52 = 25 + 10,52 = 35,52 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/35,52 = 0,1689 A

Відповідь

I_R1 = 0,1689 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,9197 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

Спадання струму

i(t) = 2,5·e^−10/10 = 0,9197 A

Відповідь

i = 0,9197 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,431 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 15/(33 + 47) = 0,1875 A

i(∞) = 15/33 = 0,4545 A

τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms

i(t) = 0,4545 + (0,1875 − 0,4545)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 0,4545 + (−0,267)·e^−5/2,061 = 0,431 A

Відповідь

i = 0,431 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: T = 7,145 ns

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Період колового руху

Швидша частинка рухається по більшому колу, тож час одного оберту лишається незмінним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,005) = 7,145 ns

Відповідь

T = 7,145 ns

Швидкість не потрібна: саме тому циклотрон може використовувати одну фіксовану частоту.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E₀ = 47,12 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

A = 0,01 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 200·0,25·0,01·94,25 = 47,12 V

Відповідь

E₀ = 47,12 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 77,53 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·500·0,1 = 314,2 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 230/80 = 2,875 A

I_X = V/X_L = 230/314,2 = 0,7321 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,875² + 0,7321²) = 2,967 A

Повний опір

|Z| = V/I = 230/2,967 = 77,53 Ω

Відповідь

|Z| = 77,53 Ω

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 159,2 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,22·10⁻⁶)) = 1073 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,1/(0,22·10⁻⁶)) = 6,742

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 1073/6,742 = 159,2 Hz

Відповідь

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism