Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +1 µC ліворуч, +6 µC праворуч на відстані 10 cm і +5 µC між ними, на відстані 2,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +1 µCq_R = +6 µCq_M = +5 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +3 µC і +3 µC розташовані на відстані 12 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 12 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 12 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 75 ms.

V_s = 6 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 22 µFt = 75 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 20 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 15 V? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається зі швидкістю 6 × 10⁶ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 10 mT. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 10 mT

r = cm

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 2000 витків, довжину 50 см і діаметр 1,5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 3 А.

N = 2000l = 50 cm⌀ = 1,5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 23,97 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·1·5 × 10⁻¹²/0,025² = 71,92 N

F_R = −k·6·5 × 10⁻¹²/0,075² = −47,95 N

Результуюча сила

F = 71,92 + (−47,95) = 23,97 N → |F| = 23,97 N

Відповідь

F = 23,97 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,68 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(6² + 12²) = 13,42 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1342² = 1,498 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,498 × 10⁶·0,8944 = 2,68 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 2,68 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,7977 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω

R_eq = R₁ + 2,654 = 4 + 2,654 = 6,654 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6,654 = 0,9017 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,9017·4 = 2,393 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,393/3 = 0,7977 A

Відповідь

I_R2 = 0,7977 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,135 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 6 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 11,3 Ω

R₃ + 11,3 = 19,3 Ω

R₂ ∥ 19,3 = 2,596 Ω

R_eq = R₁ + 2,596 = 12 + 2,596 = 14,6 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/14,6 = 2,466 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,466·12 = 6,404 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,404/3 = 2,135 A

Відповідь

I_R2 = 2,135 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 1,716 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·2,2/(4,7 + 2,2) = 1,499 kΩ

v_C(∞) = 6·2,2/(4,7 + 2,2) = 1,913 V

Стала часу

τ = R_th·C = 1,499·22 = 32,97 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 1,913·(1 − e^−75/32,97) = 1,716 V

Відповідь

v_C = 1,716 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 22,87 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

Виразіть час

15 = 10 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15 − 10)/(20 − 10) = 0,5

t = τ·ln((20 − 10)/(15 − 10)) = 33·ln(2) = 22,87 ms

Відповідь

t = 22,87 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,3412 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 9,109 × 10⁻³¹·6 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,01) = 0,003412 m = 0,3412 cm

Відповідь

r = 0,3412 cm

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 7,994 mJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 1,777 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,001777·3² = 0,007994 J = 7,994 mJ

Відповідь

W = 7,994 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 44,91 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 100/60 = 1,667 A

I_X = V/X_C = 100/67,73 = 1,477 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,667² + 1,477²) = 2,227 A

Повний опір

|Z| = V/I = 100/2,227 = 44,91 Ω

Відповідь

|Z| = 44,91 Ω

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 50,33 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·100·10⁻⁶)) = 50,33 Hz

Відповідь

f₀ = 50,33 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism