Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +2 µC і заряд −10 µC розташовані на відстані 50 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 12,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +2 µCq₂ = −10 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 8 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 50 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 50 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 10 ms.

V_s = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 80 см ковзає зі швидкістю 2,5 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,6 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 10 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть потужність P, що розсіюється в резисторі.

B = 0,6 TL = 80 cmv = 2,5 m/sR = 10 Ω

P = mW

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 80 мГн рівномірно змінюється від 0,5 А до 1 А за 5 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 80 mH0,5 A → 1 AΔt = 5 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 20 Ω, L = 50 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 20 ΩL = 50 mHC = 0,47 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,79 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,125² = 1,151 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,375² = 639289 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |1,151 × 10⁶ + 639289| = 1,79 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 1,79 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 215,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 10° = 0,01384 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 10° = 0,1736 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1736·√(0,01384/8,99 × 10⁹) = 2,154 × 10⁻⁷ C = 215,4 nC

Відповідь

q = 215,4 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 8,364 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4,364 Ω

R_eq = R₁ + 4,364 = 4 + 4,364 = 8,364 Ω

Відповідь

R_eq = 8,364 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 30,1 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 4 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 9,231 Ω

R₃ + 9,231 = 15,23 Ω

R₂ ∥ 15,23 = 10,1 Ω

R_eq = R₁ + 10,1 = 20 + 10,1 = 30,1 Ω

Відповідь

R_eq = 30,1 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 2,834 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0,1818 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−5/6,667 = 2,834 V

Відповідь

v_L = 2,834 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 2,314 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 24/5 = 4,8 A

i(∞) = 24/(5 + 10) = 1,6 A

τ = L/R = 100/15 = 6,667 ms

i(t) = 1,6 + (4,8 − 1,6)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(10) = 1,6 + (3,2)·e^−10/6,667 = 2,314 A

Відповідь

i = 2,314 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: P = 144 mW

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,6·0,8·2,5 = 1,2 V

Струм

I = ε/R = 1,2/10 = 0,12 A

Потужність

P = εI = 1,2·0,12 = 0,144 W

Відповідь

P = 144 mW

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 8 V

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,08·0,5/0,005 = 8 V

Відповідь

ε = 8 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −3,5 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−4,894)²) = 80,15 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−4,894/80) = −3,5°

Відповідь

φ = −3,5°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 16,31

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,47·10⁻⁶)) = 1038 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,05/(0,47·10⁻⁶)) = 16,31

Відповідь

Q = 16,31

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism