Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −3 µC ліворуч, +4 µC праворуч на відстані 30 cm і −2 µC між ними, на відстані 12 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = +4 µCq_M = −2 µCr_L = 12 cmr_R = 18 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 80 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 8° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 80 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 33 µF

τ = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 10 ms.

V_s = 12 VR₁ = 22 ΩR₂ = 47 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 200 витків має площу 50 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,8 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 500 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 200A = 50 cm²B = 0,8 TΔt = 500 ms

ε = V

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 250 витків, 20 см × 10 см, обертається зі швидкістю 600 об/хв в однорідному полі 0,3 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 250A = 20 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 600 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 5,966 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·3·2 × 10⁻¹²/0,12² = 3,746 N

F_R = +k·4·2 × 10⁻¹²/0,18² = 2,22 N

Результуюча сила

F = 3,746 + (2,22) = 5,966 N → |F| = 5,966 N

Відповідь

F = 5,966 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 275,8 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 8° = 0,01379 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 8° = 0,2227 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2227·√(0,01379/8,99 × 10⁹) = 2,758 × 10⁻⁷ C = 275,8 nC

Відповідь

q = 275,8 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 8,455 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 3 + 5,455 = 8,455 Ω

Відповідь

R_eq = 8,455 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 9,736 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 12 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 5,163 Ω

R₃ + 5,163 = 13,16 Ω

R₂ ∥ 13,16 = 1,736 Ω

R_eq = R₁ + 1,736 = 8 + 1,736 = 9,736 Ω

Відповідь

R_eq = 9,736 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 105,5 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ

v_C(∞) = 6·4,7/(10 + 4,7) = 1,918 V

Стала часу

τ = R_th·C = 3,197·33 = 105,5 ms

Відповідь

τ = 105,5 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,5043 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 12/(22 + 47) = 0,1739 A

i(∞) = 12/22 = 0,5455 A

τ = L/R = 100/22 = 4,545 ms

i(t) = 0,5455 + (0,1739 − 0,5455)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(10) = 0,5455 + (−0,3715)·e^−10/4,545 = 0,5043 A

Відповідь

i = 0,5043 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 1,6 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,8·0,005 = 0,004 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,004/0,5 = 1,6 V

Відповідь

ε = 1,6 V

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 66,64 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,02 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 250·0,3·0,02·62,83 = 94,25 V

Діюче значення

E_rms = 94,25/√2 = 66,64 V

Відповідь

E_rms = 66,64 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −79,59 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−544,4)²) = 553,6 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−544,4/100) = −79,59°

Відповідь

φ = −79,59°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 6,523 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·4,7·10⁻⁶) = 3262 rad/s

I = V/R = 1/10 = 0,1 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 3262·0,02 = 65,23 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·65,23 = 6,523 V

Відповідь

V_L = 6,523 V

Це в Q = 6,523 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism