Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++3 µC−−5 µCr = 10 cm

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +3 µC і −5 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 10 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +3 µCq2 = −5 µCr = 10 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
+ + + + + +− − − − − −e⁻2,5 × 10⁷ m/s10 cmE = 4500 N/C

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 2,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 10 cm, напруженість поля між ними 4500 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 4500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​12 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​8 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​20 Vt = 0R = 20 ΩL22 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 1 ms, у mJ.

Vs = 20 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 4,7 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 9,2 V? Знайдіть t.

Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 68 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 25 cm², N = 20B = 0,3 T

Котушка з 20 витків має площу 25 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,3 Тл, перпендикулярному до її площини, за 50 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 20A = 25 cm²B = 0,3 TΔt = 50 ms
ε = mV
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
N1​ = 1000, l = 20 cmN2​ = 100M = ?

Коротку котушку з 100 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 1000 витків, довжиною 20 см і діаметром 2 см. Знайдіть їхню взаємну індуктивність M.

N1 = 1000N2 = 100l = 20 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 1000 HzRL = ?C = 0,47 µF

Послідовне RLC-коло з C = 0,47 µF має резонувати на частоті 1000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f0 = 1000 HzC = 0,47 µF
L = mH
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
120 V500 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩC = 22 µF

Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (3 + −5)/2 = −1 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,1² = 0,899 N

Відповідь

F = 0,899 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 6,331 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,1/2,5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4500/9,109 × 10⁻³¹ = 7,914 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·7,914 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,006331 m = 6,331 mm

Відповідь

y = 6,331 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 13,19 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​12 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 5 + 12 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 20·17/(20+17) = 9,189 Ω
Req = R1 + 9,189 = 4 + 9,189 = 13,19 Ω

Відповідь

Req = 13,19 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,8074 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​6 ΩBR6​8 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4 Ω
R3 + 4 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 1,81 Ω
Req = R1 + 1,81 = 15 + 1,81 = 16,81 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/16,81 = 0,8924 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,8924·15 = 1,615 V
IR2 = VA/R2 = 1,615/2 = 0,8074 A

Відповідь

IR2 = 0,8074 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 3,922 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1·(1 − e−1/1,1) = 0,5971 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·22·0,5971² = 3,922 mJ

Відповідь

W = 3,922 mJ
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 292,8 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 68 µF = 319,6 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

Виразіть час

9,2 = 10 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (9,2 − 10)/(8 − 10) = 0,4
t = τ·ln((8 − 10)/(9,2 − 10)) = 319,6·ln(2,5) = 292,8 ms

Відповідь

t = 292,8 ms
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 600 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,3·0,0025 = 0,0015 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0015/0,05 = 0,6 V

Відповідь

ε = 600 mV
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: M = 197,4 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·100·0,0003142/0,2 = 197,4 µH

Відповідь

M = 197,4 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 53,89 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·0,47·10⁻⁶) = 53,89 mH

Відповідь

L = 53,89 mH
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 23,76 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5,661 − j11,74 Ω

Повний опір

Z = 15 + 5,661 − j11,74 = 20,66 − j11,74 Ω
|Z| = √(20,66² + 11,74²) = 23,76 Ω

Відповідь

|Z| = 23,76 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism