Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++8 µC−−2 µC++1 µC10 cm + 10 cm

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +8 µC ліворуч, +1 µC праворуч на відстані 20 cm і −2 µC між ними, на відстані 10 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +8 µCqR = +1 µCqM = −2 µCrL = 10 cmrR = 10 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
L = 50 cm8°qq

Дві однакові маленькі кульки масою 2 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 50 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 8° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 50 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​5 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​3 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 ΩR5 = 15 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL33 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 2 ms.

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms
vL = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​15 Vt = 0R = 2,2 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 11,5 V? Знайдіть t.

Vs = 15 VR = 2,2 kΩC = 33 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
dB/dt > 0I = ?

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Індукція поля зростає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: у площину сторінкиdB/dt > 0
  1. 1за годинниковою стрілкою
  2. 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
l = 40 cmN = 1000, ⌀ 1,5 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 1000 витків, довжину 40 см і діаметр 1,5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 1000l = 40 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
120 V500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 2,2 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF
cos φ =
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
24 V1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 1 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 1 µF
f0 = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 12,59 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

FL = −k·8·2 × 10⁻¹²/0,1² = −14,38 N
FR = +k·1·2 × 10⁻¹²/0,1² = 1,798 N

Результуюча сила

F = −14,38 + (1,798) = −12,59 N → |F| = 12,59 N

Відповідь

F = 12,59 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 77,08 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 8° = 0,1392 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1392·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 7,708 × 10⁻⁸ C = 77,08 nC

Відповідь

q = 77,08 nC
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 13 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​5 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 8 + 5 = 13 Ω

Відповідь

Req = 13 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 13,1 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​3 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 15 + 3 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 3,913 Ω
R3 + 3,913 = 9,913 Ω
R2 ∥ 9,913 = 7,098 Ω
Req = R1 + 7,098 = 6 + 7,098 = 13,1 Ω

Відповідь

Req = 13,1 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 3,954 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0,6818 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−2/1,5 = 3,954 V

Відповідь

vL = 3,954 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 50,32 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms
vC(t) = 15 + (8 − 15)·e−t/τ

Виразіть час

11,5 = 15 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (11,5 − 15)/(8 − 15) = 0,5
t = τ·ln((8 − 15)/(11,5 − 15)) = 72,6·ln(2) = 50,32 ms

Відповідь

t = 50,32 ms
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 555,2 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,0001767/0,4 = 0,0005552 H = 555,2 µH

Відповідь

L = 555,2 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,1216

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 471,2 Ω, XC = 144,7 Ω

Повний опір

|Z| = √(40² + (326,6)²) = 329 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 40/329 = 0,1216
Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,1216
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 1125 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

Відповідь

f0 = 1125 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism