Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++8 µC++5 µCr = 15 cm

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +8 µC і +5 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 15 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +8 µCq2 = +5 µCr = 15 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
L = 60 cm12°qq

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 60 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 12° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 60 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​12 ΩBR6​12 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 2,2 kΩC22 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 60 ms.

Vs = 15 VR1 = 6,8 kΩR2 = 2,2 kΩC = 22 µFt = 60 ms
vC = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 750 ms.

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 2 Vt = 750 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
R = 4 Ωv = 2,5 m/sL = 25 cmB = 1 T

Металевий стрижень довжиною 25 см ковзає зі швидкістю 2,5 м/с по двох рейках в однорідному полі 1 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 4 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть струм I.

B = 1 TL = 25 cmv = 2,5 m/sR = 4 Ω
I = mA
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
N1​ = 1000, l = 30 cm20 A/sN2​ = 20Mε = ?

Коротку котушку з 20 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 1000 витків, довжиною 30 см і діаметром 5 см. Струм у соленоїді змінюється зі швидкістю 20 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в короткій котушці.

N1 = 1000N2 = 20l = 30 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
230 V50 HzR = 80 ΩC = 47 µFI

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
12 V200 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 40 ΩC = 10 µF

Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR1 = 40 ΩR2 = 40 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 16,88 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (8 + 5)/2 = 6,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 16,88 N

Відповідь

F = 16,88 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 380 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 12° = 0,02085 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 12° = 0,2495 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2495·√(0,02085/8,99 × 10⁹) = 3,8 × 10⁻⁷ C = 380 nC

Відповідь

q = 380 nC
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 7,7 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 3·27/(3+27) = 2,7 Ω
Req = R1 + 2,7 = 5 + 2,7 = 7,7 Ω

Відповідь

Req = 7,7 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 32,58 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​12 ΩBR6​12 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 2 + 12 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 6,462 Ω
R3 + 6,462 = 18,46 Ω
R2 ∥ 18,46 = 2,581 Ω
Req = R1 + 2,581 = 30 + 2,581 = 32,58 Ω

Відповідь

Req = 32,58 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 2,956 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·2,2/(6,8 + 2,2) = 1,662 kΩ
vC(∞) = 15·2,2/(6,8 + 2,2) = 3,667 V

Стала часу

τ = Rth·C = 1,662·22 = 36,57 ms

Крива заряджання

vC(t) = 3,667·(1 − e−60/36,57) = 2,956 V

Відповідь

vC = 2,956 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 2,867 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 5 + (2 − 5)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(750) = 5 + (−3)·e−750/2200 = 2,867 V

Відповідь

vC = 2,867 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 156,3 mA

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 1·0,25·2,5 = 0,625 V

Струм

I = ε/R = 0,625/4 = 0,1563 A

Відповідь

I = 156,3 mA
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 3,29 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·20·0,001963/0,3 = 164,5 µH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,0001645·20 = 3,29 mV

Відповідь

ε = 3,29 mV
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 51,69 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

IR = V/R = 230/80 = 2,875 A
IX = V/XC = 230/67,73 = 3,396 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(IR² + IX²) = √(2,875² + 3,396²) = 4,45 A

Повний опір

|Z| = V/I = 230/4,45 = 51,69 Ω

Відповідь

|Z| = 51,69 Ω
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 73,7 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XC = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 31,93 − j16,05 Ω

Повний опір

Z = 40 + 31,93 − j16,05 = 71,93 − j16,05 Ω
|Z| = √(71,93² + 16,05²) = 73,7 Ω

Відповідь

|Z| = 73,7 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism