Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +10 µC і +4 µC розташовані на відстані 30 cm. На якій відстані x від заряду +10 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +10 µCq₂ = +4 µCd = 30 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 3 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 6 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 6 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩL = 22 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 50 витків має площу 10 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,05 Тл до 0,15 Тл за 200 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 50A = 10 cm²B: 0,05 T → 0,15 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 400 витків, довжину 40 см і діаметр 2,5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 400l = 40 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 100 µF

P = W

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 18,38 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

10/x² = 4/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(4/10) = 0,6325

Положення

x = 30/(1 + 0,6325) = 18,38 cm

Відповідь

x = 18,38 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 106,2 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,05² = 32,36 N

F₂ = k·6·3 × 10⁻¹²/0,04² = 101,1 N

Векторна сума

F = √(32,36² + 101,1²) = 106,2 N

Відповідь

F = 106,2 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 11,11 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω

R_eq = R₁ + 3,111 = 8 + 3,111 = 11,11 Ω

Відповідь

R_eq = 11,11 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2039 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 15,38 Ω

R₃ + 15,38 = 40,38 Ω

R₂ ∥ 40,38 = 15,44 Ω

R_eq = R₁ + 15,44 = 30 + 15,44 = 45,44 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/45,44 = 0,3301 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,3301·30 = 5,097 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,097/25 = 0,2039 A

Відповідь

I_R2 = 0,2039 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,485 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0,5455 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,5455·(1 − e^−1/0,4545) = 0,485 A

Відповідь

i = 0,485 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 1,126 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 12/(10 + 15) = 0,48 A

i(∞) = 12/10 = 1,2 A

τ = L/R = 22/10 = 2,2 ms

i(t) = 1,2 + (0,48 − 1,2)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 1,2 + (−0,72)·e^−5/2,2 = 1,126 A

Відповідь

i = 1,126 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 25 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,15 − 0,05)·0,001 = 0,0001 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0001/0,2 = 0,025 V

Відповідь

ε = 25 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 246,7 µH

Поперечний переріз

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,0004909/0,4 = 0,0002467 H = 246,7 µH

Відповідь

L = 246,7 µH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 73,18 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 37,7 Ω, X_C = 26,53 Ω

Повний опір

|Z| = √(30² + (11,17)²) = 32,01 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 50/32,01 = 1,562 A

P = I²·R = 1,562²·30 = 73,18 W

Відповідь

P = 73,18 W

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3007 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−26,32)²) = 39,91 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/39,91 = 0,3007 A

Відповідь

I = 0,3007 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism