Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +2 µC і заряд −5 µC розташовані на відстані 20 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 15 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +2 µCq₂ = −5 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 2 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 1 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 25 ms, у mJ.

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 25 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 5 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 2,5 V, рівно через 100 ms після старту. При C = 4,7 µF знайдіть потрібний опір R.

V_s = 5 VV_th = 2,5 VT = 100 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Провідник проводить струм ліворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що діє на провідник.

I: ліворучB: зі сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Альфа-частинка починає рух зі стану спокою, прискорюється в різниці потенціалів 2000 В, а потім влітає в однорідне магнітне поле 0,4 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r його траєкторії в полі.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,4 T

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 2,2 µF має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 200 HzC = 2,2 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,878 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,05² = 1,798 × 10⁷ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |799111 + 1,798 × 10⁷| = 1,878 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 1,878 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 25,13 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·1·2 × 10⁻¹²/0,04² = 11,24 N

F₂ = k·2·2 × 10⁻¹²/0,04² = 22,47 N

Векторна сума

F = √(11,24² + 22,47²) = 25,13 N

Відповідь

F = 25,13 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,5397 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 4·30/(4+30) = 3,529 Ω

R_eq = R₁ + 3,529 = 15 + 3,529 = 18,53 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18,53 = 0,5397 A

Відповідь

I_R1 = 0,5397 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 8,349 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,833 Ω

R₃ + 5,833 = 10,83 Ω

R₂ ∥ 10,83 = 2,349 Ω

R_eq = R₁ + 2,349 = 6 + 2,349 = 8,349 Ω

Відповідь

R_eq = 8,349 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 12,34 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0,5 A

Струм у заданий момент

i(t) = 0,5·(1 − e^−25/15) = 0,4056 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·150·0,4056² = 12,34 mJ

Відповідь

W = 12,34 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 30,7 kΩ

Потрібна стала часу

2,5 = 5·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 2,5))

τ = 100/0,6931 = 144,3 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 144,3/4,7 = 30,7 kΩ

Відповідь

R = 30,7 kΩ

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: угору по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

I: ліворуч, B: зі сторінки

Напрямок сили

угору по сторінці

Відповідь

F: угору по сторінці

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 2,277 cm

Швидкість після прискорення

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 439166 m/s

Радіус у полі

r = mv/(|q|B) = 0,02277 m = 2,277 cm

Відповідь

r = 2,277 cm

Разом: r = √(2mV/|q|)/B, тож важчі іони з тим самим зарядом рухаються по більших колах; так розділяють ізотопи.

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 287,8 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·2,2·10⁻⁶) = 287,8 mH

Відповідь

L = 287,8 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 1,302 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (282,3)²) = 293,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/293,4 = 0,04089 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,04089·31,83 = 1,302 V

Відповідь

V_C = 1,302 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism