Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −5 µC ліворуч, +6 µC праворуч на відстані 10 cm і −1 µC між ними, на відстані 2,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −5 µCq_R = +6 µCq_M = −1 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 4 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 5 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,75 A? Знайдіть t.

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

V_s = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 3 см один від одного проводять струми 5 А і 15 А у протилежних напрямках. Знайдіть силу на метр довжини F/L між ними.

I₁ = 5 AI₂ = 15 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Коротку котушку з 200 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 2000 витків, довжиною 25 см і діаметром 5 см. Струм у соленоїді змінюється зі швидкістю 1000 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в короткій котушці.

N₁ = 2000N₂ = 200l = 25 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 1000 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mH

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 81,51 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·5·1 × 10⁻¹²/0,025² = 71,92 N

F_R = +k·6·1 × 10⁻¹²/0,075² = 9,589 N

Результуюча сила

F = 71,92 + (9,589) = 81,51 N → |F| = 81,51 N

Відповідь

F = 81,51 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 81,91 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·5·4 × 10⁻¹²/0,1² = 17,98 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Векторна сума

F = √(17,98² + 79,91²) = 81,91 N

Відповідь

F = 81,91 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,4762 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 6 + 5,455 = 11,45 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11,45 = 0,873 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,873·6 = 4,762 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,762/10 = 0,4762 A

Відповідь

I_R2 = 0,4762 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,3801 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 12,59 Ω

R₃ + 12,59 = 20,59 Ω

R₂ ∥ 20,59 = 8,678 Ω

R_eq = R₁ + 8,678 = 15 + 8,678 = 23,68 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/23,68 = 0,3801 A

Відповідь

I_R1 = 0,3801 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,915 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0,66 ms

Виразіть час

0,75 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,75)

t = 0,66·ln(4) = 0,915 ms

Відповідь

t = 0,915 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 1,47 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 24/(15 + 10) = 0,96 A

i(∞) = 24/15 = 1,6 A

τ = L/R = 47/15 = 3,133 ms

i(t) = 1,6 + (0,96 − 1,6)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 1,6 + (−0,64)·e^−5/3,133 = 1,47 A

Відповідь

i = 1,47 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F/L = 500 µN/m

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·15/0,03 = 500 µN/m

Відповідь

F/L = 500 µN/m

Струми протилежних напрямків відштовхуються.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 3,948 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·200·0,001963/0,25 = 3,948 mH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,003948·1000 = 3,948 V

Відповідь

ε = 3,948 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 4,103 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 50/50 = 1 A

I_X = V/X_L = 50/12,57 = 3,979 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 3,979²) = 4,103 A

Відповідь

I = 4,103 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 189,6 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·4,7·10⁻⁶)) = 189,6 Hz

Відповідь

f₀ = 189,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism