Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +5 µC і −6 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 40 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −6 µCr = 40 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 10 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 10 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 8 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 1 A? Знайдіть t.

i(0) = 2 AR = 100 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 20 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 12,3 V? Знайдіть t.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Індукція поля зростає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: зі сторінкиdB/dt > 0

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 500 витків, 20 см × 15 см, обертається в однорідному полі 0,05 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 66,64 В?

N = 500A = 20 cm × 15 cmB = 0,05 TE_rms = 66,64 V

n = rpm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 10 µF

P = W

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 100 Ω, L = 50 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 100 ΩL = 50 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,01405 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (5 + −6)/2 = −0,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,01405 N

Відповідь

F = 0,01405 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 470,9 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·10·10 × 10⁻¹²/0,08² = 140,5 N

F₂ = k·8·10 × 10⁻¹²/0,04² = 449,5 N

Векторна сума

F = √(140,5² + 449,5²) = 470,9 N

Відповідь

F = 470,9 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,3543 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 3·25/(3+25) = 2,679 Ω

R_eq = R₁ + 2,679 = 20 + 2,679 = 22,68 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/22,68 = 0,3969 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,3969·20 = 1,063 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,063/3 = 0,3543 A

Відповідь

I_R2 = 0,3543 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 25,4 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 8 + 3 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,438 Ω

R₃ + 3,438 = 8,438 Ω

R₂ ∥ 8,438 = 5,4 Ω

R_eq = R₁ + 5,4 = 20 + 5,4 = 25,4 Ω

Відповідь

R_eq = 25,4 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,2287 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Виразіть час

1 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/1)

t = 0,33·ln(2) = 0,2287 ms

Відповідь

t = 0,2287 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 120,4 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (20 − 9)·e^−t/τ

Виразіть час

12,3 = 9 + (11)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,3 − 9)/(20 − 9) = 0,3

t = τ·ln((20 − 9)/(12,3 − 9)) = 100·ln(3,333) = 120,4 ms

Відповідь

t = 120,4 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 1200 rpm

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·E_rms = 94,24 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 94,24/(500·0,05·0,03) = 125,7 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Відповідь

n = 1200 rpm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 0,9304 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 314,2 Ω, X_C = 31,83 Ω

Повний опір

|Z| = √(30² + (282,3)²) = 283,9 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 50/283,9 = 0,1761 A

P = I²·R = 0,1761²·30 = 0,9304 W

Відповідь

P = 0,9304 W

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 318,3 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,01·10⁻⁶)) = 7118 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,05/(0,01·10⁻⁶)) = 22,36

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 7118/22,36 = 318,3 Hz

Відповідь

B = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism