Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −8 µC і −2 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 20 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = −2 µCr = 20 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +3 µC і +3 µC розташовані на відстані 12 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 4 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 12 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 60 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 22 µFt = 60 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 15 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 7,5 V, рівно через 500 ms після старту. При R = 4,7 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 500 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 60 см ковзає зі швидкістю 3 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,4 Тл, спрямованому в площину сторінки. Знайдіть індуковану ЕРС ε між його кінцями.

B = 0,4 TL = 60 cmv = 3 m/s

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 200 витків, довжину 30 см і діаметр 3 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 2 А.

N = 200l = 30 cm⌀ = 3 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 5,619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−8 + −2)/2 = −5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 5,619 N

Відповідь

F = 5,619 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 5,754 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(6² + 4²) = 7,211 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,07211² = 5,187 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5,187 × 10⁶·0,5547 = 5,754 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 5,754 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1277 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 12·9/(12+9) = 5,143 Ω

R_eq = R₁ + 5,143 = 15 + 5,143 = 20,14 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/20,14 = 0,2979 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2979·15 = 1,532 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,532/12 = 0,1277 A

Відповідь

I_R2 = 0,1277 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 16,64 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4,714 Ω

R₃ + 4,714 = 6,714 Ω

R₂ ∥ 6,714 = 4,638 Ω

R_eq = R₁ + 4,638 = 12 + 4,638 = 16,64 Ω

Відповідь

R_eq = 16,64 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 2,381 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6,8/(10 + 6,8) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 12·6,8/(10 + 6,8) = 4,857 V

Стала часу

τ = R_th·C = 4,048·22 = 89,05 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 4,857·(1 − e^−60/89,05) = 2,381 V

Відповідь

v_C = 2,381 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 153,5 µF

Потрібна стала часу

7,5 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 500/0,6931 = 721,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 721,3/4,7 = 153,5 µF

Відповідь

C = 153,5 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 720 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,4·0,6·3 = 0,72 V

Відповідь

ε = 720 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 236,9 µJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 118,4 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,0001184·2² = 0,0002369 J = 236,9 µJ

Відповідь

W = 236,9 µJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 52,55 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (78,33)²) = 98,67 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(78,33/60) = 52,55°

Відповідь

φ = 52,55°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,09022 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−110,4)²) = 110,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/110,8 = 0,09022 A

Відповідь

I = 0,09022 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism