Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +3 µC і +4 µC розташовані на відстані 20 cm. На якій відстані x від заряду +3 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +4 µCd = 20 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 3 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 3 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 50% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 12 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 11 V? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається униз по сторінці в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: униз по сторінціB: зі сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 400 витків, довжину 30 см і діаметр 5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 1,5 А.

N = 400l = 30 cm⌀ = 5 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 9,282 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

3/x² = 4/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(4/3) = 1,155

Положення

x = 20/(1 + 1,155) = 9,282 cm

Відповідь

x = 9,282 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 49,86 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

F₂ = k·3·6 × 10⁻¹²/0,06² = 44,95 N

Векторна сума

F = √(21,58² + 44,95²) = 49,86 N

Відповідь

F = 49,86 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 16 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 10 + 6 = 16 Ω

Відповідь

R_eq = 16 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,7179 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 5 + 6 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 2,933 Ω

R₃ + 2,933 = 6,933 Ω

R₂ ∥ 6,933 = 2,537 Ω

R_eq = R₁ + 2,537 = 10 + 2,537 = 12,54 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/12,54 = 0,7179 A

Відповідь

I_R1 = 0,7179 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,3258 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0,1 A

Виразіть час

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,47·ln(0,5) = 0,3258 ms

Відповідь

t = 0,3258 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 153,1 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 10 + (12 − 10)·e^−t/τ

Виразіть час

11 = 10 + (2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11 − 10)/(12 − 10) = 0,5

t = τ·ln((12 − 10)/(11 − 10)) = 220,9·ln(2) = 153,1 ms

Відповідь

t = 153,1 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ліворуч

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: униз по сторінці, B: зі сторінки

Напрямок сили

ліворуч

Відповідь

F: ліворуч

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 1,48 mJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 1,316 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,001316·1,5² = 0,00148 J = 1,48 mJ

Відповідь

W = 1,48 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,425

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 125,7 Ω, X_C = 338,6 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (−213)²) = 235,3 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 100/235,3 = 0,425

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,425

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 4,216 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0,1333 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,1333·31,62 = 4,216 V

Відповідь

V_L = 4,216 V

Це в Q = 2,108 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism