Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −5 µC і −1 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 50 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Прийміть k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = −1 µCr = 50 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 3 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 8 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 5 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 2 ms, у mJ.

V_s = 20 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 12 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 500 витків має площу 10 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,1 Тл до 0,6 Тл за 40 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 500A = 10 cm²B: 0,1 T → 0,6 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 150 витків, 15 см × 15 см, обертається зі швидкістю 1200 об/хв в однорідному полі 0,1 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 150A = 15 cm × 15 cmB = 0,1 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 5 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,3236 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Заряд після дотику

q′ = (−5 + −1)/2 = −3 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,3236 N

Відповідь

F = 0,3236 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 25,44 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

F₂ = k·5·3 × 10⁻¹²/0,1² = 13,48 N

Векторна сума

F = √(21,58² + 13,48²) = 25,44 N

Відповідь

F = 25,44 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 23,75 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

R_eq = R₁ + 3,75 = 20 + 3,75 = 23,75 Ω

Відповідь

R_eq = 23,75 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2669 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 2 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 10,12 Ω

R₃ + 10,12 = 25,12 Ω

R₂ ∥ 25,12 = 12,53 Ω

R_eq = R₁ + 12,53 = 10 + 12,53 = 22,53 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/22,53 = 0,5326 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,5326·10 = 6,674 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,674/25 = 0,2669 A

Відповідь

I_R2 = 0,2669 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 8,141 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 20/20 = 1 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1·(1 − e^−2/1,65) = 0,7024 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·33·0,7024² = 8,141 mJ

Відповідь

W = 8,141 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,2507 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 12/33 = 0,3636 A

i(∞) = 12/(33 + 33) = 0,1818 A

τ = L/R = 68/66 = 1,03 ms

i(t) = 0,1818 + (0,3636 − 0,1818)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,1818 + (0,1818)·e^−1/1,03 = 0,2507 A

Відповідь

i = 0,2507 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 6,25 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,6 − 0,1)·0,001 = 0,0005 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0005/0,04 = 6,25 V

Відповідь

ε = 6,25 V

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 29,99 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,0225 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 150·0,1·0,0225·125,7 = 42,41 V

Діюче значення

E_rms = 42,41/√2 = 29,99 V

Відповідь

E_rms = 29,99 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 29,95 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (46,09)²) = 92,33 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(46,09/80) = 29,95°

Відповідь

φ = 29,95°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 22,47 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·2,2·10⁻⁶) = 6742 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0,3333 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 6742·0,01 = 67,42 Ω

V_L = I·X_L = 0,3333·67,42 = 22,47 V

Відповідь

V_L = 22,47 V

Це в Q = 4,495 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism