Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −3 µC і +4 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 40 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = +4 µCr = 40 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 3,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 3 cm, напруженість поля між ними 4900 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 4900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 68 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Через який час після t = 0 струм котушки досягне 0,267 A? Знайдіть t.

V_s = 10 VR₁ = 33 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 10 витків має площу 50 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,05 Тл до 0,45 Тл за 200 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 10A = 50 cm²B: 0,05 T → 0,45 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

У селекторі швидкостей схрещені поля E = 1 × 10⁴ В/м і B = 0,25 Тл пропускають прямо лише іони однієї швидкості. Знайдіть цю швидкість v.

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 100 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,01405 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−3 + 4)/2 = 0,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,01405 N

Відповідь

F = 0,01405 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 0,3166 mm

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,03/3,5 × 10⁷ = 8,571 × 10⁻¹⁰ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4900/9,109 × 10⁻³¹ = 8,618 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·8,618 × 10¹⁴·(8,571 × 10⁻¹⁰)² = 0,0003166 m = 0,3166 mm

Відповідь

y = 0,3166 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 20,71 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 15 + 5,714 = 20,71 Ω

Відповідь

R_eq = 20,71 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,351 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 4 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 2,182 Ω

R₃ + 2,182 = 27,18 Ω

R₂ ∥ 27,18 = 8,325 Ω

R_eq = R₁ + 8,325 = 5 + 8,325 = 13,32 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13,32 = 1,351 A

Відповідь

I_R1 = 1,351 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,2567 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0,4853 ms

i(∞) = V_s/R = 20/68 = 0,2941 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2941·(1 − e^−1/0,4853) = 0,2567 A

Відповідь

i = 0,2567 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 2,5 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 10/(33 + 22) = 0,1818 A

i(∞) = 10/33 = 0,303 A

τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms

i(t) = 0,303 + (0,1818 − 0,303)·e^−t/τ

Виразіть час

e^−t/τ = (0,267 − 0,303)/(0,1818 − 0,303) = 0,2972

t = 2,061·ln(3,364) = 2,5 ms

Відповідь

t = 2,5 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 100 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,45 − 0,05)·0,005 = 0,002 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,002/0,2 = 0,1 V

Відповідь

ε = 100 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: v = 40000 m/s

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0,25 = 40000 m/s

Відповідь

v = 40000 m/s

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −71,5 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−298,9)²) = 315,2 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−298,9/100) = −71,5°

Відповідь

φ = −71,5°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 65,67 Ω

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 31,44 − j46,43 Ω

Повний опір

Z = 15 + 31,44 − j46,43 = 46,44 − j46,43 Ω

|Z| = √(46,44² + 46,43²) = 65,67 Ω

Відповідь

|Z| = 65,67 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism