Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −4 µC ліворуч, +4 µC праворуч на відстані 20 cm і +10 µC між ними, на відстані 12 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = +4 µCq_M = +10 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +2 µC і −2 µC розташовані на відстані 6 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 12 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 6 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 75 ms.

V_s = 9 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 47 µFt = 75 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 500 ms.

V_s = 10 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 68 µFt = 500 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 250 витків має площу 20 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,8 Тл, перпендикулярному до її площини, за 40 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 250A = 20 cm²B = 0,8 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 100 витків, 20 см × 5 см, обертається зі швидкістю 1800 об/хв в однорідному полі 0,05 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 100A = 20 cm × 5 cmB = 0,05 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 81,16 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·4·10 × 10⁻¹²/0,12² = −24,97 N

F_R = −k·4·10 × 10⁻¹²/0,08² = −56,19 N

Результуюча сила

F = −24,97 + (−56,19) = −81,16 N → |F| = 81,16 N

Відповідь

F = 81,16 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 570038 N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(3² + 12²) = 12,37 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1237² = 1,175 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,175 × 10⁶·0,2425 = 570038 N/C

Відповідь

E = 570038 N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,6505 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 5 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 20 + 3,059 = 23,06 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/23,06 = 0,6505 A

Відповідь

I_R1 = 0,6505 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,366 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 12,5 Ω

R₃ + 12,5 = 27,5 Ω

R₂ ∥ 27,5 = 7,333 Ω

R_eq = R₁ + 7,333 = 12 + 7,333 = 19,33 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/19,33 = 1,862 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1,862·12 = 13,66 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,66/10 = 1,366 A

Відповідь

I_R2 = 1,366 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 4,196 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·6,8/(2,2 + 6,8) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 9·6,8/(2,2 + 6,8) = 6,8 V

Стала часу

τ = R_th·C = 1,662·47 = 78,12 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 6,8·(1 − e^−75/78,12) = 4,196 V

Відповідь

v_C = 4,196 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 1,425 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 10·4,7/(2,2 + 4,7) = 6,812 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 4,7·68 = 319,6 ms

Розряджання

v_C(t) = 6,812·e^−500/319,6 = 1,425 V

Відповідь

v_C = 1,425 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 20 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,8·0,002 = 0,0032 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0032/0,04 = 20 V

Відповідь

ε = 20 V

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 6,664 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,01 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 100·0,05·0,01·188,5 = 9,425 V

Діюче значення

E_rms = 9,425/√2 = 6,664 V

Відповідь

E_rms = 6,664 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,7495 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (306,2)²) = 306,9 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/306,9 = 0,7495 A

Відповідь

I = 0,7495 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,03648 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·2,2·10⁻⁶) = 1447 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−1368)²) = 1371 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/1371 = 0,03648 A

Відповідь

I = 0,03648 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism