Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +4 µC ліворуч, +2 µC праворуч на відстані 30 cm і +10 µC між ними, на відстані 15 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +2 µCq_M = +10 µCr_L = 15 cmr_R = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 3 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 5 ms, у mJ.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Через який час після t = 0 струм котушки досягне 0,96 A? Знайдіть t.

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩL = 150 mH

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 25 витків має площу 80 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,3 Тл, перпендикулярному до її площини, за 250 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 25A = 80 cm²B = 0,3 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 2000 витків, довжину 20 см і діаметр 2 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 5 А.

N = 2000l = 20 cm⌀ = 2 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mH

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 7,991 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·4·10 × 10⁻¹²/0,15² = 15,98 N

F_R = −k·2·10 × 10⁻¹²/0,15² = −7,991 N

Результуюча сила

F = 15,98 + (−7,991) = 7,991 N → |F| = 7,991 N

Відповідь

F = 7,991 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 32,81 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,05² = 32,36 N

F₂ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

Векторна сума

F = √(32,36² + 5,394²) = 32,81 N

Відповідь

F = 32,81 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 7,435 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4,435 Ω

R_eq = R₁ + 4,435 = 3 + 4,435 = 7,435 Ω

Відповідь

R_eq = 7,435 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,4751 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 30 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 6,545 Ω

R₃ + 6,545 = 21,55 Ω

R₂ ∥ 21,55 = 10,37 Ω

R_eq = R₁ + 10,37 = 6 + 10,37 = 16,37 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16,37 = 0,9162 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,9162·6 = 9,503 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,503/20 = 0,4751 A

Відповідь

I_R2 = 0,4751 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 1,852 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Струм у заданий момент

i(t) = 0,2128·(1 − e^−5/2,128) = 0,1925 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·100·0,1925² = 1,852 mJ

Відповідь

W = 1,852 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 9,163 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 12/10 = 1,2 A

i(∞) = 12/(10 + 5) = 0,8 A

τ = L/R = 150/15 = 10 ms

i(t) = 0,8 + (1,2 − 0,8)·e^−t/τ

Виразіть час

e^−t/τ = (0,96 − 0,8)/(1,2 − 0,8) = 0,4

t = 10·ln(2,5) = 9,163 ms

Відповідь

t = 9,163 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 480 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,3·0,008 = 0,0048 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0048/0,25 = 0,48 V

Відповідь

ε = 480 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 98,7 mJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 7,896 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,007896·5² = 0,0987 J = 98,7 mJ

Відповідь

W = 98,7 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 78,17 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 12/30 = 0,4 A

I_X = V/X_L = 12/6,283 = 1,91 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,4² + 1,91²) = 1,951 A

Кут зсуву фаз

Струм котушки відстає від V, тож загальний струм відстає, і кут додатний.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,91/0,4) = 78,17°

Відповідь

φ = 78,17°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 29,75 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (278)²) = 279,6 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/279,6 = 0,8226 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,8226·36,17 = 29,75 V

Відповідь

V_C = 29,75 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism