Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 250 km/h, а довжина злітної смуги 2200 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 2200 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 20 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 19 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 20 mv_0B = 19 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 45°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 10 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 10 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 36 m/s під кутом 45° над горизонталлю в бік стіни на відстані 26 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 36 m/sθ = 45°x = 26 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 21 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 13 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,4. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 35°μ = 0,4d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,15). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 22 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 2,5 kgh = 22 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,6 kg ударяється об стіну зі швидкістю 23 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 16 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,6 kgv_in = 23 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 100 mm і діаметром горловини 50 mm. Тиск на вході на 25 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 25 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 150 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 50 mm, розташований на 3,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (надлишковий)h = 3,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 300 g газу (Ar) при 300 kPa і 50 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 300 gM = 39,95 g/molP = 300 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (N₂) переходить від 150 kPa, 5 L, 25 °C до 700 kPa і 80 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 25 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 800 °C і холодним при 10 °C. Вона отримує 1800 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 800 °CT_L = 10 °CQ_H = 1800 kJ

W_max = kJ

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 8,5 kW теплоти в систему опалення з температурою 45 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 2 °C. Його дійсний COP становить 50 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 45 °CT_L = 2 °Cη_II = 50%Q̇_H = 8,5 kW

Ẇ = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,65 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 343 m/sn = 5L = 0,65 m

f₅ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,5 і оболонку з n₂ = 1,48. Знайдіть його числову апертуру NA.

n₁ = 1,5n₂ = 1,48

NA =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,096 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·2200) = 1,096 m/s²

Відповідь

a = 1,096 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: t = 1,053 s

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 20/19 = 1,053 s

Відповідь

t = 1,053 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,243 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,1·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,07071) = 6,243 m/s²

Відповідь

a = 6,243 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,215 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 19,62)/15,5 = 2,215 m/s²

Відповідь

a = 2,215 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 20,88 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 36·cos 45° = 25,46 m/s

t = x/v_x = 26/25,46 = 1,021 s

Висота в цей момент

y = 25,46·1,021 − ½·9,81·1,021² = 20,88 m

Відповідь

y = 20,88 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 68,63 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 50° = 13,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 50° = 16,09 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 16,09·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,09 + √(258,8 + 882,9))/9,81 = 5,084 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,5·5,084 = 68,63 m

Відповідь

x = 68,63 m

7.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 83,57 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,8192 = 16,07 N

F = μN = 0,4·16,07 = 6,429 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 6,429·13 = 83,57 J

Відповідь

W_f = 83,57 J

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,606 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 29,43·3 = 88,29 J

μ·m₁g·d = 0,15·98,1·3 = 44,14 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 44,14 → v = √(2·44,14/13) = 2,606 m/s

Відповідь

v = 2,606 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 651,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,22) = 2,078 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 2,5)·2,078/0,008 = 651,3 m/s

Відповідь

v = 651,3 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 2340 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,6·(16 + 23) = 23,4 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 23,4/0,01 = 2340 N

Відповідь

F_avg = 2340 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 49,05 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Відповідь

F = 49,05 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,028 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0,125/(3·1,5) = 3,028 m

Відповідь

y_cp = 3,028 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 14,34 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(50/100)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·25000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,303 m/s

v₁ = 1,826 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,001963·7,303 = 0,01434 m³/s = 14,34 L/s

Відповідь

Q = 14,34 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 37,7 L/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·3,5)) = 19,2 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,001963·19,2 = 0,0377 m³/s = 37,7 L/s

Відповідь

Q = 37,7 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 67,25 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 300/39,95 = 7,509 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 7,509·8,314·323,1/300 = 67,25 L

Відповідь

V = 67,25 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 1,269 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 298,1 K, T₂ = 353,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/700)·(353,1/298,1) = 1,269 L

Відповідь

V₂ = 1,269 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 1325 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/1073 = 73,62 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,7362·1800 = 1325 kJ

Відповідь

W_max = 1325 kJ

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 2,298 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 318,1/(318,1 − 275,1) = 7,399

COP = 0,5·7,399 = 3,699

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 8,5/3,699 = 2,298 kW

Відповідь

Ẇ = 2,298 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 1319 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,65/5 = 0,26 m

Частота

f = v/λ = 343/0,26 = 1319 Hz

Відповідь

f₅ = 1319 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: NA = 0,2441

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,48/1,5 = 0,9867 → θc = 80,63°

Числова апертура

NA = √(1,5² − 1,48²) = 0,2441

Відповідь

NA = 0,2441

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers