Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 50 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 30 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 4 st₂ = 30 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 20 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 35° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 20 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 105 N тягне передній брусок масою 11 kg; брусок масою 5 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 5 kgm₂ = 11 kgF = 105 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 20 m/s під кутом 25° над горизонталлю в бік стіни на відстані 12 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 20 m/sθ = 25°x = 12 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 12 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 2000 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 6 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,05 kgk = 2000 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 0,5 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0,3d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 900 kg, що їде на схід зі швидкістю 12 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 900 kg, що їде на північ зі швидкістю 24 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 900 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля у водопровідній трубі показує різницю 5 kPa між тиском гальмування і статичним тиском. Знайдіть швидкість води v біля носика трубки.

p₀ − p = 5 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm і піднімається на 7 m. У перерізі 1 тиск 320 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 90 g газу (N₂) при 25 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 90 gM = 28,01 g/molV = 10 LT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (Ar) переходить від 400 kPa, 10 L, 15 °C до 150 kPa і 70 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 250 °C і холодним при 10 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 250 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 4,5 kW теплоти в систему опалення з температурою 22 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 7 °C. Його дійсний COP становить 45 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 22 °CT_L = 7 °Cη_II = 45%Q̇_H = 4,5 kW

Ẇ = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 0,8 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 343 m/sn = 3L = 0,8 m

f₃ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,55 і оболонку з n₂ = 1,45. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,55n₂ = 1,45n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 12,06 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·8) = 12,06 m

Відповідь

s = 12,06 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 129,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·4 = 4 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1·4² = 8 m

s₂ = 4·30 = 120 m

s₃ = 4²/(2·4,5) = 1,778 m

Повна відстань

s = 8 + 120 + 1,778 = 129,8 m

Відповідь

s = 129,8 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 128,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 112,5 + 16,07 = 128,6 N

Відповідь

F = 128,6 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 32,81 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 47,09)/16 = 3,619 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(3,619 + 2,943) = 32,81 N

Відповідь

T = 32,81 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 3,446 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 20·cos 25° = 18,13 m/s

t = x/v_x = 12/18,13 = 0,662 s

Висота в цей момент

y = 8,452·0,662 − ½·9,81·0,662² = 3,446 m

Відповідь

y = 3,446 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 18,67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 12·sin 45° = 8,485 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 8,485²/(2·9,81) = 3,67 m

Висота над землею

H = 15 + 3,67 = 18,67 m

Відповідь

H = 18,67 m

7.Робота й енергія

Відповідь: h = 7,339 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·2000·0,06² = 3,6 J

Висота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 3,6/0,4905 = 7,339 m

Відповідь

h = 7,339 m

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,483 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·0,5 = 24,53 J

μ·m₁g·d = 0,3·19,62·0,5 = 2,943 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 21,58 → v = √(2·21,58/7) = 2,483 m/s

Відповідь

v = 2,483 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −1,75 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 5)/(3 + 5)·7 = −1,75 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 5)·7 = 5,25 m/s

Відповідь

v′₁ = −1,75 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 63,43 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 900·12 = 10800 kg·m/s

p_y = 900·24 = 21600 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 2 → θ = 63,43°

Відповідь

θ = 63,43°

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 42,92 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN

Відповідь

F = 42,92 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,789 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,75·2,25 = 92,26 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,4219/(4,75·2,25) = 4,789 m

Відповідь

y_cp = 4,789 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 3,162 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·5000/1000) = 3,162 m/s

Відповідь

v = 3,162 m/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 250,7 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 320 + (−0,6076) − 68,67 = 250,7 kPa

Відповідь

p₂ = 250,7 kPa

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 796,5 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 90/28,01 = 3,213 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Тиск

P = nRT/V = 3,213·8,314·298,1/0,01 = 796,5 kPa

Відповідь

P = 796,5 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 31,76 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 288,1 K, T₂ = 343,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/150)·(343,1/288,1) = 31,76 L

Відповідь

V₂ = 31,76 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 45,88 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283,1/523,1 = 45,88 %

Відповідь

η_max = 45,88 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 0,5082 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 295,1/(295,1 − 280,1) = 19,68

COP = 0,45·19,68 = 8,854

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 4,5/8,854 = 0,5082 kW

Відповідь

Ẇ = 0,5082 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 321,6 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·0,8/3 = 1,067 m

Частота

f = v/λ = 343/1,067 = 321,6 Hz

Відповідь

f₃ = 321,6 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 33,21 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,45/1,55 = 0,9355 → θc = 69,31°

Числова апертура

NA = √(1,55² − 1,45²) = 0,5477

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,5477) = 33,21°

Відповідь

θ_a = 33,21°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers