Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 80 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 80 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 13 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 5 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 20° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 5 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 32 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 16 m вздовж площини.

θ = 25°μ = 0,15d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 15 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 12 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,25 kgv_in = 15 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm. У широкій частині тиск 390 kPa, а швидкість 2,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 390 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 40 mm і піднімається на 4 m. У перерізі 1 тиск 360 kPa, а швидкість 1,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 140 g газу (He) при 450 kPa і 15 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 140 gM = 4,003 g/molP = 450 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 750 kPa і 90 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 750 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 750 °C і холодним при 5 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 750 °CT_L = 5 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 500 kJ теплоти від резервуара з температурою 400 °C, виконує 165 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 25 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 400 °CT_L = 25 °CQ_H = 500 kJW = 165 kJ

S_gen = kJ/K

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «повітря» (n = 1,00). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 2,42n₂ = 1,00

θ_c = °

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Датчик у стані спокою посилає ультразвук 35 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 20 м/с, і змішує відлуння з випроміненим сигналом. Знайдіть частоту биття f_b (швидкість звуку 343 м/с).

f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 70,55 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·3,5) = 70,55 m

Відповідь

s = 70,55 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 38,61 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

Висота над землею

h_max = 30 + 8,614 = 38,61 m

Відповідь

h_max = 38,61 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 21,39 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 16,78 + 4,609 = 21,39 N

Відповідь

F = 21,39 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,282 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/6,5 = 5,282 m/s²

Відповідь

a = 5,282 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,194 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·20,57/9,81 = 4,194 s

Відповідь

t = 4,194 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 5,013 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18,02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12,62 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 12,62·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,62 + √(159,2 + 1177))/9,81 = 5,013 s

Відповідь

t = 5,013 s

7.Робота й енергія

Відповідь: v = 9,486 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,4226 − 0,15·0,9063)) = 9,486 m/s

Відповідь

v = 9,486 m/s

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 42,95 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(5 − 0,15·2) = 46,11 J

Найбільше стиснення

½kx² = 46,11 → x = √(2·46,11/500) = 0,4295 m = 42,95 cm

Відповідь

x = 42,95 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 1,222 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 2)/(2,5 + 2)·11 = 1,222 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 2)·11 = 12,22 m/s

Відповідь

v′₁ = 1,222 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 675 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(12 + 15) = 6,75 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 6,75/0,01 = 675 N

Відповідь

F_avg = 675 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 110,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Відповідь

F = 110,4 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 1,857 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·3 = 52,79 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 0,5625/(1,75·3) = 1,857 m

Відповідь

y_cp = 1,857 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 333,3 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(200/100)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−56,72) = 333,3 kPa

Відповідь

p₂ = 333,3 kPa

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 291 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(100/40)² = 7,813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 7,813²)/1000 = −29,74 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−29,74) − 39,24 = 291 kPa

Відповідь

p₂ = 291 kPa

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 186,2 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 140/4,003 = 34,97 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 34,97·8,314·288,1/450 = 186,2 L

Відповідь

V = 186,2 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 6,958 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Густина

ρ = 750·28,01/(8,314·363,1) = 6,958 kg/m³

Відповідь

ρ = 6,958 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 72,81 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/1023 = 72,81 %

Відповідь

η_max = 72,81 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 0,3808 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 500 − 165 = 335 kJ

Абсолютні температури

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −500/673,1 = −0,7428 kJ/K

ΔS_L = 335/298,1 = 1,124 kJ/K

S_gen = 1,124 − 0,7428 = 0,3808 kJ/K

Відповідь

S_gen = 0,3808 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 24,41 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/2,42 = 0,4132

Критичний кут

θc = arcsin(0,4132) = 24,41°

Відповідь

θ_c = 24,41°

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f_b = 4334 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Частота біля автомобіля

f′ = 35000·(343 + 20)/343 = 37041 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 20) = 39334 Hz

Частота биття

f_b = |f″ − f| = 4334 Hz

Відповідь

f_b = 4334 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers