Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 36 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,4 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 36 km/ht_r = 1,4 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 10,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 10,5 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 65° над горизонталлю, і він падає на відстані 110 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 65°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 29 m/s під кутом 50° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 29 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 20 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0,25d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 5 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 3,5 kgh = 5 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,2 kg ударяється об стіну зі швидкістю 25 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 12 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,2 kgv_in = 25 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 150 mm і діаметром горловини 75 mm. Тиск на вході на 56 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 56 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 50 mm і надлишковий тиск 70 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 30 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 70 kPa (надлишковий)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 30 L містить 80 g газу (CH₄) при 0 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 80 gM = 16,04 g/molV = 30 LT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CH₄) переходить від 200 kPa, 5 L, 10 °C до 750 kPa і 110 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 550 °C і холодним при 25 °C. Вона отримує 4800 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 550 °CT_L = 25 °CQ_H = 4800 kJ

W_max = kJ

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 21 °C, коли надворі 2 °C, і подає в будинок 4 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 21 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 5 м/с до нерухомого джерела частотою 800 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 800 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 15 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 50 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 15 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 26,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 10·1,4 = 14 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12,5 m

Разом

d = 14 + 12,5 = 26,5 m

Відповідь

d = 26,5 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 40,72 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1029 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1029))/(2·4,905) = 2,881 s

Глибина

d = ½·9,81·2,881² = 40,72 m

Відповідь

d = 40,72 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,923 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,25·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2266) = 1,923 m/s²

Відповідь

a = 1,923 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 8,656 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 10,5²/(2·6,369) = 8,656 m

Відповідь

d = 8,656 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 37,53 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 130°) = 37,53 m/s

Відповідь

v₀ = 37,53 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 65,15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 29·sin 50° = 22,22 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 22,22²/(2·9,81) = 25,15 m

Висота над землею

H = 40 + 25,15 = 65,15 m

Відповідь

H = 65,15 m

7.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 184,4 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,9397 = 36,87 N

F = μN = 0,25·36,87 = 9,218 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 9,218·20 = 184,4 J

Відповідь

W_f = 184,4 J

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,083 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·3 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,3·19,62·3 = 17,66 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 129,5 → v = √(2·129,5/7) = 6,083 m/s

Відповідь

v = 6,083 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 694,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,05) = 0,9905 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3,5)·0,9905/0,005 = 694,3 m/s

Відповідь

v = 694,3 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 7,4 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,2·(12 + 25) = 7,4 N·s

Відповідь

J = 7,4 N·s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 36,79 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Відповідь

F = 36,79 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 16,19 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,25·1,5 = 16,19 kN

Відповідь

F = 16,19 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 48,29 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·56000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,93 m/s

v₁ = 2,733 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,004418·10,93 = 0,04829 m³/s = 48,29 L/s

Відповідь

Q = 48,29 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 8,198 m

Швидкість на виході

β = 30/50 = 0,6

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0,8704)) = 12,68 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 12,68²/(2·9,81) = 8,198 m

Відповідь

H = 8,198 m

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 377,6 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 80/16,04 = 4,988 mol

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Тиск

P = nRT/V = 4,988·8,314·273,1/0,03 = 377,6 kPa

Відповідь

P = 377,6 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 1,804 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 283,1 K, T₂ = 383,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/750)·(383,1/283,1) = 1,804 L

Відповідь

V₂ = 1,804 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 3061 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/823,1 = 63,78 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,6378·4800 = 3061 kJ

Відповідь

W_max = 3061 kJ

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,2584 kW

Абсолютні температури

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 275,1) = 15,48

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/15,48 = 0,2584 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,2584 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 811,7 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 800·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 811,7 Hz

Відповідь

f′ = 811,7 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −37,5 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 25 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/15

d_i = −37,5 cm

Хід променів

уявне зображення за дзеркалом

Відповідь

d_i = −37,5 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers