Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2,5 m/s² протягом 6 s, потім їде зі сталою швидкістю 12 s і нарешті гальмує з прискоренням 5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 12 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 150 N тягне передній брусок масою 11 kg; брусок масою 2 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 2 kgm₂ = 11 kgF = 150 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 24 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 6 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 24 m/sθ = 45°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1800 kg піднімається схилом 6° зі сталою швидкістю 54 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 750 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 750 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 3 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,4). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 0,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0,4d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 8 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 35 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 7 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 42 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 1 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 8 kgu = 35 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 42 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,3 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 3 kgL = 1,3 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 150 mm і діаметром горловини 75 mm. Тиск на вході на 24 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 24 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm і піднімається на 7 m. У перерізі 1 тиск 160 kPa, а швидкість 2,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 200 g газу (O₂) при 400 kPa і 85 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 200 gM = 32 g/molP = 400 kPaT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (O₂) при 150 kPa і 100 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 32 g/molP = 150 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 575 °C і холодним при 30 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 575 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -20 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 4,5 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 28 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 4,5 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 1,5 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₁ для моди «основна частота (перша гармоніка)».

v = 343 m/sn = 1L = 1,5 m

f₁ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,1 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 1 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 450 nma = 0,1 mmL = 1 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 66,67 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66,67 m

Відповідь

s = 66,67 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 21 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2,5·6 = 15 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 15/5 = 3 s

Загальний час

t = 6 + 12 + 3 = 21 s

Відповідь

t = 21 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,055 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,1·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,0866) = 4,055 m/s²

Відповідь

a = 4,055 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 23,08 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (150 − 38,26)/13 = 8,595 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(8,595 + 2,943) = 23,08 N

Відповідь

T = 23,08 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 16,77 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5,472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15,04 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·15,04/9,81 = 3,065 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 5,472·3,065 = 16,77 m

Відповідь

x = 16,77 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 51,93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 16,97 m/s, v_y = 16,97 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

6 = 16,97·t − 4,905·t²

t = (16,97 + √(16,97² − 2·9,81·6))/9,81 = 3,06 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 16,97·3,06 = 51,93 m

Відповідь

x = 51,93 m

7.Робота й енергія

Відповідь: P = 38,94 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 750 = 2596 N

Потужність

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 2596·15 = 38936 W = 38,94 kW

Відповідь

P = 38,94 kW

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 1,716 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 29,43·0,5 = 14,71 J

μ·m₁g·d = 0,4·29,43·0,5 = 5,886 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 8,829 → v = √(2·8,829/6) = 1,716 m/s

Відповідь

v = 1,716 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −14 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 8·35 = 280 kg·m/s

Імпульс після удару

280 = 7·42 + 1·v′₂

v′₂ = (280 − 294)/1 = −14 m/s

Відповідь

v′₂ = −14 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 187,3 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 20°) = 0,0784 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,0784) = 1,24 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,02·1,24/0,02 = 187,3 m/s

Відповідь

v = 187,3 m/s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 161,9 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·3 = 161,9 kN

Відповідь

F = 161,9 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 61,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·2 = 61,8 kN

Відповідь

F = 61,8 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 31,61 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·24000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,155 m/s

v₁ = 1,789 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,004418·7,155 = 0,03161 m³/s = 31,61 L/s

Відповідь

Q = 31,61 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 85,86 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 4²)/1000 = −5,469 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−5,469) − 68,67 = 85,86 kPa

Відповідь

p₂ = 85,86 kPa

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 46,53 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 200/32 = 6,25 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 6,25·8,314·358,1/400 = 46,53 L

Відповідь

V = 46,53 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,547 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Густина

ρ = 150·32/(8,314·373,1) = 1,547 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,547 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 64,26 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 575 + 273,15 = 848,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/848,1 = 64,26 %

Відповідь

η_max = 64,26 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,8532 kW

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253,1/(301,1 − 253,1) = 5,274

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4,5/5,274 = 0,8532 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,8532 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₁ = 57,17 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·1,5/1 = 6 m

Частота

f = v/λ = 343/6 = 57,17 Hz

Відповідь

f₁ = 57,17 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 9 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1/(0,1 × 10⁻³) = 4,5 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 9 mm

Відповідь

w = 9 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers