Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 45 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,8 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 6,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,8 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 2,1 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 2,1 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 6,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 6,5 m/sθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 12 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 17 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 20 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 40°μ = 0,3d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 14 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 14 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,2 kg ударяється об стіну зі швидкістю 10 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 9 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,2 kgv_in = 10 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 160 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 75 mm і надлишковий тиск 100 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 20 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 100 kPa (надлишковий)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 410 g газу (CO₂) при 350 kPa і 85 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 410 gM = 44,01 g/molP = 350 kPaT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (He) переходить від 400 kPa, 10 L, 30 °C до 650 kPa і 250 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 400 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 10 °C. Його дійсний термічний ККД 35 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) η_II — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

T_H = 400 °CT_L = 10 °Cη = 35%

η_II = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Двигун Карно отримує 120 kW теплоти від джерела з температурою 900 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 27 °C. Уся його робота приводить холодильну машину Карно, яка відводить теплоту з морозильної камери з температурою 0 °C і теж віддає теплоту довкіллю з температурою 27 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_L, що відводиться з морозильної камери.

T_H = 900 °CT₀ = 27 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 120 kW

Q̇_L = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 0,6 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 343 m/sn = 3L = 0,6 m

f₃ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 6 см перед опукле дзеркалом із радіусом кривини 30 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 6 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 22,02 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,8 = 10 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·6,5) = 12,02 m

Разом

d = 10 + 12,02 = 22,02 m

Відповідь

d = 22,02 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 20,42 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(2,1 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 720,3 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·720,3))/(2·4,905) = 2,04 s

Глибина

d = ½·9,81·2,04² = 20,42 m

Відповідь

d = 20,42 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,479 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Відповідь

a = 1,479 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 3,566 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,2·cos 25°) = 5,924 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 6,5²/(2·5,924) = 3,566 m

Відповідь

d = 3,566 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 5,505 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 60° = 6 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 60° = 10,39 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 10,39²/(2·9,81) = 5,505 m

Відповідь

H = 5,505 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 25,51 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 15° = 16,42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 15° = 4,4 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 4,4·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4,4 + √(19,36 + 98,1))/9,81 = 1,553 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 16,42·1,553 = 25,51 m

Відповідь

x = 25,51 m

7.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 90,18 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,766 = 15,03 N

F = μN = 0,3·15,03 = 4,509 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,509·20 = 90,18 J

Відповідь

W_f = 90,18 J

8.Робота й енергія

Відповідь: N = 2,943 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(14 − 10) = 78,48 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·78,48/5 − 4,905 = 2,943 N

Відповідь

N = 2,943 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 1,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·12 = 1,333 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·12 = 13,33 m/s

Відповідь

v′₁ = 1,333 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 3,8 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,2·(9 + 10) = 3,8 N·s

Відповідь

J = 3,8 N·s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,524 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·1 = 43,26 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 0,08333/(3,5·1) = 3,524 m

Відповідь

y_cp = 3,524 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 83,88 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/40)² = 12,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 12,5²)/1000 = −76,13 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−76,13) = 83,88 kPa

Відповідь

p₂ = 83,88 kPa

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 10,25 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість на виході

β = 20/75 = 0,2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9949)) = 14,18 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 14,18²/(2·9,81) = 10,25 m

Відповідь

H = 10,25 m

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 79,26 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 410/44,01 = 9,316 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 9,316·8,314·358,1/350 = 79,26 L

Відповідь

V = 79,26 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 10,62 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 303,1 K, T₂ = 523,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/650)·(523,1/303,1) = 10,62 L

Відповідь

V₂ = 10,62 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_II = 60,41 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

ККД Карно

η_Carnot = 1 − 283,1/673,1 = 57,94 %

ККД за другим законом

η_II = η/η_Carnot = 35/57,94 = 60,41 %

Відповідь

η_II = 60,41 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_L = 903,4 kW

Абсолютні температури

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T₀ = 27 + 273,15 = 300,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Робота двигуна

η = 1 − 300,1/1173 = 0,7442

Ẇ = 0,7442·120 = 89,3 kW

Теплота, відведена холодильною машиною

COP_R = 273,1/(300,1 − 273,1) = 10,12

Q̇_L = 10,12·89,3 = 903,4 kW

Відповідь

Q̇_L = 903,4 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 428,8 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·0,6/3 = 0,8 m

Частота

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Відповідь

f₃ = 428,8 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −4,286 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = −R/2 = −15 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/6

d_i = −4,286 cm

Хід променів

уявне зображення за дзеркалом

Відповідь

d_i = −4,286 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers