Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 72 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,6 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 72 km/ht_r = 0,6 sa = −5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 11 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 11 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 6 kg і 2,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 15° зі швидкістю 7,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 7,5 m/sθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 12 m/s, і він має впасти на відстані 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 12 m/sR = 5 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 18 m/s під кутом 20° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 25 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 18 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2,5 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0,3k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 4 kgL = 1 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 80 mm і діаметром горловини 40 mm. Тиск на вході на 10 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 10 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 100 mm і надлишковий тиск 40 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 25 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 40 kPa (надлишковий)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 280 g газу (O₂) при 100 kPa і 50 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 280 gM = 32 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CH₄) переходить від 100 kPa, 2 L, 35 °C до 800 kPa і 60 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 2 LT₁ = 35 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 650 °C і холодним при 15 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 650 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -25 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 0,5 kW. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 28 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 0,5 kW

COP_max =

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: гармоніка номер 5 має становити 536 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 536 Hz

L = m

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 25 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 8 см і лінза 2 з f₂ = 5 см. Предмет стоїть на відстані 20 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 8 cmf₂ = 5 cms = 25 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 52 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 20·0,6 = 12 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

Разом

d = 12 + 40 = 52 m

Відповідь

d = 52 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 26,17 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Висота над землею

h_max = 20 + 6,167 = 26,17 m

Відповідь

h_max = 26,17 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,039 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (6 − 2,5)·9,81/(6 + 2,5) = 4,039 m/s²

Відповідь

a = 4,039 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 8,067 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 15° + 0,1·cos 15°) = 3,487 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 7,5²/(2·3,487) = 8,067 m

Відповідь

d = 8,067 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 9,957 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·5/12² = 0,3406

Кут

2θ = 19,91° → θ = 9,957°

Відповідь

θ = 9,957°

Інший розв’язок 90° − θ = 80,04°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 53,65 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 18·cos 20° = 16,91 m/s

v_y0 = 18·sin 20° = 6,156 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(6,156² + 2·9,81·25) = 22,99 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 22,99/16,91 → α = 53,65°

Відповідь

α = 53,65°

7.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 92,18 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,9397 = 92,18 N

F = μN = 0,25·92,18 = 23,05 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 23,05·4 = 92,18 J

Відповідь

W_f = 92,18 J

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,799 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4 − 0,3·3) = 76,03 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,1) = 7,799 m/s

Відповідь

v = 7,799 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 12,8 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2 − 0,5)/(2 + 0,5)·8 = 4,8 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 0,5)·8 = 12,8 m/s

Відповідь

v′₂ = 12,8 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 679,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 25°) = 0,09369 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,09369) = 1,356 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,008·1,356/0,008 = 679,3 m/s

Відповідь

v = 679,3 m/s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,633 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·2 = 50,28 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Відповідь

y_cp = 2,633 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 5,804 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(40/80)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·10000/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,619 m/s

v₁ = 1,155 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,001257·4,619 = 0,005804 m³/s = 5,804 L/s

Відповідь

Q = 5,804 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 4,093 m

Швидкість на виході

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9961)) = 8,962 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 8,962²/(2·9,81) = 4,093 m

Відповідь

H = 4,093 m

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 235,1 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 280/32 = 8,75 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 8,75·8,314·323,1/100 = 235,1 L

Відповідь

V = 235,1 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 0,2703 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 308,1 K, T₂ = 333,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(100/800)·(333,1/308,1) = 0,2703 L

Відповідь

V₂ = 0,2703 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 68,79 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/923,1 = 68,79 %

Відповідь

η_max = 68,79 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 4,682

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(301,1 − 248,1) = 4,682

Відповідь

COP_max = 4,682

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,7999 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/536 = 0,6399 m

Довжина

L = nλ/4 = 5·0,6399/4 = 0,7999 m

Відповідь

L = 0,7999 m

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = 8,75 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/8 − 1/20 → d_i1 = 13,33 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 25 − 13,33 = 11,67 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/5 − 1/11,67 → d_i2 = 8,75 cm

Відповідь

d_i2 = 8,75 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers